Introduction
Allez les amis, on est parti pour donner toutes les solutions d'une équation différentielle simple. Je vous rappelle qu'une équation différentielle, c'est une équation pour laquelle on ne cherche pas un nombre comme solution, mais une fonction.
Exemple d'équation différentielle
Prenons l'équation que nous appellerons \(E\). Cette équation consiste à trouver une fonction qui, quand je la dérive et que je lui soustrais trois fois elle-même, donne zéro. On peut essayer avec une fonction arbitraire, par exemple \(f(x) = 3x\). Si \(3x\) est une solution, alors \(f'(x) - 3f(x)\) devrait valoir 0. La dérivée de \(3x\) est \(3\), donc \(3 - 3 \times 3x\) devrait valoir 0. C'est vrai pour une valeur particulière de \(x\), mais de manière générale, cette fonction \(3 - 9x\) n'est pas la fonction nulle. Donc, \(3x\) n'est pas une solution.
Solution de l'équation différentielle
Alors, quelle est la fonction qui est solution de \(y' - 3y = 0\)? On ne va pas tester toutes les fonctions au hasard. On va commencer par réarranger l'équation en \(y' = 3y\). On cherche une fonction qui, quand je la dérive, me donne trois fois elle-même. Une telle fonction est l'exponentielle de \(x\), car quand on dérive \(e^x\), on obtient \(e^x\).
Si on avait \(y' = y\), alors \(e^x\) serait une solution. Mais nous avons \(y' = 3y\). Si on dérive \(e^{3x}\), on obtient \(3e^{3x}\), qui est bien trois fois la fonction elle-même. Donc, une solution de \(y' = 3y\) est \(f(x) = e^{3x}\).
Mais on cherche toutes les solutions. Si on prend \(5e^{3x}\) et qu'on la dérive, on obtient \(15e^{3x}\), qui est bien trois fois la fonction elle-même. Donc, \(5e^{3x}\) est aussi une solution. En fait, toutes les fonctions de la forme \(ke^{3x}\), où \(k\) est un nombre réel, sont des solutions de l'équation.
En conclusion, quand vous avez une équation de la forme \(y' = ay\), les solutions sont les fonctions de la forme \(f(x) = ke^{ax}\), où \(k\) est un nombre réel.