Obtenez le corrigé détaillé du sujet 4 du bac blanc de mathématiques pour la Terminale STI2D. Ce sujet complet est un entraînement idéal pour l'épreuve finale, couvrant les chapitres clés : composition de fonctions, exponentielle, logarithme, calcul intégral et équations différentielles. Chaque question est expliquée pour vous aider à maîtriser les compétences attendues. Mots-clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale STI2D, Bac Blanc, Fonctions, Intégrales, Équations différentielles.

Exercice 1 : Composer, résoudre, intégrer

Cet exercice teste des compétences fondamentales sur plusieurs chapitres à travers des questions indépendantes.

• Question 1 : Étude de \(f(x) = e^{-x^2+2x}\). Il s'agit d'identifier une composition de fonctions, de calculer sa dérivée \(f'(x) = (2-2x)e^{-x^2+2x}\) via la formule \((e^u)' = u'e^u\), puis de dresser le tableau de variation pour trouver le maximum de la fonction.
• Question 2 : Résolution d'une équation exponentielle (\(3e^{0.4x} - 5 = 10\)) en isolant l'exponentielle puis en utilisant le logarithme, et d'une inéquation logarithmique (\(\ln(x) > 2\)) en utilisant l'exponentielle.
• Question 3 : On vérifie que \(G(x) = \ln(x^2+x+1)\) est une primitive de \(g(x) = \frac{2x+1}{x^2+x+1}\) en dérivant \(G(x)\). On en déduit la valeur exacte de l'intégrale \(\int_0^1 g(x)dx\) par le calcul \(G(1) - G(0)\).
• Question 4 : Étude de \(h(x) = (3x-1)e^{-2x}\). Le travail consiste à trouver les limites en \(\pm\infty\) (avec croissances comparées), à calculer la dérivée \(h'(x)\) avec la formule du produit, et à étudier son signe pour déterminer les variations et le maximum de \(h\).

Exercice 2 : Le rinçage d'un bain de traitement de surface

Ce problème de modélisation applique les équations différentielles à une situation concrète.

• Question 1 & 2 : On établit à partir d'un bilan de matière que l'évolution de la concentration \(c(t)\) est régie par l'équation différentielle \((E) : y' = -0,1y + 0,2\). On résout cette équation de type \(y'=ay+b\) pour trouver la solution générale \(c(t) = K e^{-0,1t} + 2\). La condition initiale \(c(0)=50\) permet de trouver la constante \(K\) et donc la solution particulière.
• Question 3 & 4 : On étudie le comportement à long terme en calculant la limite de \(c(t)\) en \(+\infty\), qui est de 2 g/L, la concentration du liquide entrant. On détermine aussi le temps nécessaire pour que la concentration passe sous le seuil de 5 g/L en résolvant l'inéquation \(c(t) \le 5\) à l'aide du logarithme.
• Question 5 & 6 : L'exercice se conclut par la détermination de l'équation de la tangente à l'instant initial et par le calcul de la masse totale de sel évacuée, qui correspond à l'intégrale \(\int_0^{30} 200 c(t) dt\).

Exercice 3 : Le profil d'un ralentisseur

Cet exercice analyse le profil d'un ralentisseur modélisé par une fonction trigonométrique, \(h(x) = 0,05 \left(1 - \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right)\).

• Question 1 : L'étude des variations de \(h\) passe par le calcul de sa dérivée \(h'(x)\), qui fait intervenir la fonction sinus. L'étude du signe de \(h'(x)\) sur \([0; 4]\) permet de déterminer le tableau de variation et de vérifier si la hauteur maximale est conforme à la réglementation.
• Question 2 & 3 : On calcule le volume du ralentisseur. Pour cela, on détermine une primitive \(H(x)\) de \(h(x)\), puis on calcule l'aire de la section via l'intégrale \(\int_0^4 h(x) dx\). Cette aire, multipliée par la largeur, donne le volume.
• Question 4 & 5 : On calcule la valeur moyenne de la hauteur du ralentisseur sur sa longueur via la formule \(\frac{1}{4}\int_0^4 h(x)dx\). Enfin, on vérifie une autre contrainte réglementaire sur la pente maximale, en trouvant le maximum de la valeur absolue de la dérivée \(|h'(x)|\).