Contrôle Corrigé de Mathématiques : Fonction Exponentielle et Composition (Terminale STI2D)

Ce sujet de mathématiques pour les élèves de Terminale STI2D est un excellent entraînement sur les chapitres de la fonction exponentielle et de la composition de fonctions. Il s'agit d'une évaluation complète de 2 heures, avec calculatrice autorisée, qui balaye des compétences essentielles comme la dérivation, l'étude de variations, le calcul de limites et la résolution de problèmes concrets d'optimisation. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas à travers chaque question pour vous aider à maîtriser ces notions fondamentales du programme.

Exercice 1 : La vibration résiduelle d'un bâti de machine (10 points)

Cet exercice est une étude de fonction appliquée à un problème de physique : l'amortissement de la vibration d'une presse industrielle. La vitesse de vibration est modélisée par la fonction \( v(t) = 12te^{-0,5t} \) pour \( t \ge 0 \).

• Partie A - Ce que deux mesures ne disent pas : Cette partie introductive vise à développer l'esprit critique. Après avoir calculé et interprété \( v(0) = 0 \), il faut démontrer qu'une conclusion basée sur deux points de mesure (\( t=1 \) et \( t=4 \)) est fausse. Sans utiliser la dérivée, le calcul d'une valeur intermédiaire (par exemple \( v(2) \)) suffit à montrer que la fonction n'est pas strictement décroissante, introduisant ainsi la nécessité d'une étude plus complète.
• Partie B - Étude complète : Ici, on procède à une analyse rigoureuse de la fonction \( v \).
  • Calcul de la dérivée : Il faut montrer que \( v'(t) = 12(1 - 0,5t)e^{-0,5t} \). Cela mobilise la formule de la dérivée d'un produit de fonctions (\( (uv)' = u'v + uv' \)) et celle de la dérivée d'une composition avec l'exponentielle (\( (e^u)' = u'e^u \)).
  • Tableau de variations : L'étude du signe de \( v'(t) \), qui dépend uniquement du facteur \( 1 - 0,5t \), permet de dresser le tableau de variations complet de la fonction \( v \) sur \( [0; +\infty[ \).
  • Recherche d'extremum : Le tableau de variations révèle un maximum. On en déduit l'instant \( t \) où la vibration est maximale ainsi que la valeur de cette vitesse maximale.
  • Calcul de limite : La détermination de la limite de \( v(t) \) en \( +\infty \) fait appel au théorème des croissances comparées pour lever l'indétermination. L'interprétation physique (la vibration s'annule sur le long terme) est demandée.
  • Résolution numérique : La dernière question requiert l'utilisation de la calculatrice pour trouver à partir de quel instant la vibration passe sous un seuil imposé, un savoir-faire pratique important.

Exercice 2 : Choisir un amortisseur (5 points)

Cet exercice est une question ouverte qui évalue la capacité à modéliser, à généraliser une étude et à argumenter. Le modèle de vibration devient \( w(t) = 12te^{-kt} \), où \( k \) est le coefficient d'amortissement que l'on peut choisir. La question est de déterminer l'intérêt d'augmenter la valeur de \( k \).

La démarche attendue consiste à :

• Reprendre l'étude de fonction de l'exercice 1, mais cette fois avec le paramètre \( k \).
• Calculer la dérivée \( w'(t) = 12(1 - kt)e^{-kt} \).
• Déterminer l'instant du pic de vibration en fonction de \( k \), qui est \( t_{max} = \frac{1}{k} \).
• Calculer l'intensité maximale de la vibration en fonction de \( k \), qui est \( w_{max} = w(\frac{1}{k}) = \frac{12}{k}e^{-1} \).
• Analyser l'influence de \( k \) : en observant les expressions de \( t_{max} \) et \( w_{max} \), on conclut qu'augmenter \( k \) permet de réduire l'intensité du pic de vibration et d'atteindre ce pic plus rapidement. Un amortisseur avec un grand \( k \) est donc plus performant.

Exercice 3 : Deux composées à dériver (5 points)

Cet exercice se concentre sur la compétence technique de dérivation des fonctions composées, un point clé du programme de Terminale.

• Première fonction : On dérive \( f(x) = (3x - 1)^4 \). Il s'agit d'une composition de la forme \( u(x)^n \), dont la dérivée est \( n \cdot u'(x) \cdot u(x)^{n-1} \). L'application directe de la formule est attendue.
• Deuxième fonction : On étudie \( g(x) = e^{x^2 - 4x} \).
  • On identifie d'abord la composition : la fonction exponentielle appliquée à un polynôme du second degré.
  • On calcule ensuite la dérivée en utilisant la formule \( (e^u)' = u'e^u \), ce qui donne \( g'(x) = (2x - 4)e^{x^2 - 4x} \).
  • L'étude de signe de \( g'(x) \) permet de dresser le tableau de variations de \( g \).
  • Enfin, on en déduit la valeur exacte du minimum de la fonction \( g \) sur \( \mathbb{R} \).

Ce contrôle de maths est donc un sujet complet et formateur, parfait pour réviser et valider ses acquis sur l'analyse de fonctions en Terminale STI2D.