Analyse du sujet de contrôle sur les équations différentielles (Niveau Terminale STI2D)

Ce document est un sujet de contrôle de mathématiques destiné aux élèves de Terminale STI2D. D'une durée d'une heure, il évalue de manière complète les compétences acquises sur le chapitre des équations différentielles. La calculatrice est autorisée. Le sujet est structuré en trois exercices distincts : un QCM pour tester les connaissances fondamentales, une analyse de copie d'élève pour développer l'esprit critique, et un exercice de résolution de problèmes pour appliquer les méthodes de manière autonome.

Ce type de sujet est un excellent outil de préparation au Baccalauréat STI2D, car il balaye les différents types d'équations différentielles au programme : \( y' = ay \) et \( y' = ay + b \).

Exercice 1 : QCM (6 points)

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples qui vise à vérifier la maîtrise des définitions et des formules de base du cours. Une justification est demandée pour chaque réponse, ce qui pousse à une réelle compréhension plutôt qu'à une devinette.

• Question 1 : Elle porte sur la résolution de l'équation différentielle la plus simple, de la forme \( y' = ay \), ici avec \( y' = 3y \). Il s'agit de reconnaître la forme générale des solutions qui est \( x \mapsto k e^{ax} \), où \( k \) est une constante réelle. Une application directe du cours.
• Question 2 : Cette question aborde les équations de la forme \( y' = ay + b \), spécifiquement \( y' = -2y + 6 \). On demande de trouver une solution particulière constante. La méthode consiste à poser \( y(x) = C \), où \( C \) est une constante. Sa dérivée \( y'(x) \) est donc nulle. L'équation devient \( 0 = -2C + 6 \), ce qui permet de trouver facilement que \( C = 3 \).
• Question 3 : Il s'agit de vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle. Pour la fonction donnée \( f(x) = 5e^{-x} \), on doit calculer sa dérivée \( f'(x) = -5e^{-x} \). Ensuite, on teste les quatre équations proposées pour voir laquelle est satisfaite. On constate que \( f'(x) = -f(x) \), donc \( f \) est solution de \( y' = -y \).

Exercice 2 : La copie d'un élève (6 points)

Cet exercice est très formateur car il demande d'analyser le travail d'un autre élève, d'identifier les erreurs et de les corriger. C'est un excellent moyen de renforcer sa propre compréhension des mécanismes de résolution.

Le problème à résoudre est : trouver la solution de l'équation \( y' = -2y + 6 \) qui vérifie la condition initiale \( y(0) = 1 \).

• Question 1 : On demande si la première ligne de la copie est correcte. L'élève identifie correctement les solutions de l'équation homogène associée \( y' = -2y \) comme étant les fonctions \( x \mapsto k e^{-2x} \). C'est une étape juste et essentielle.
• Question 2 : Il faut vérifier si la solution finale proposée par l'élève, \( y(x) = -5e^{-2x} + 6 \), est correcte. On calcule séparément \( y'(x) = 10e^{-2x} \) et \( -2y(x) + 6 = -2(-5e^{-2x} + 6) + 6 = 10e^{-2x} - 12 + 6 = 10e^{-2x} - 6 \). Comme \( y' \neq -2y+6 \), la solution est incorrecte.
• Question 3 : La question pointe l'erreur commise : l'élève a confondu la constante \( b=6 \) avec la solution particulière. On doit expliquer comment trouver la bonne solution particulière constante (comme dans l'exercice 1, Q2), qui est \( y_p(x) = 3 \).
• Question 4 : Il s'agit de mener la résolution complète du problème.
  1. La solution générale de \( y' = -2y+6 \) est la somme de la solution générale de l'équation homogène et d'une solution particulière : \( y(x) = k e^{-2x} + 3 \).
  2. On utilise la condition initiale \( y(0) = 1 \) pour trouver la constante \( k \): \( y(0) = k e^0 + 3 = k+3 \). Donc \( k+3=1 \), ce qui donne \( k = -2 \).
  3. La solution unique est donc \( y(x) = -2e^{-2x} + 3 \).

Exercice 3 : Reconnaître et résoudre (8 points)

Cet exercice final regroupe plusieurs questions indépendantes pour évaluer différentes facettes de la maîtrise du chapitre.

• Question 1 : Encore une vérification de solution. On doit montrer que \( f(x) = 4e^{5x} \) est solution de \( y' = 5y \). On dérive \( f \) pour obtenir \( f'(x) = 4 \times 5e^{5x} = 20e^{5x} \), et on compare avec \( 5f(x) = 5 \times 4e^{5x} = 20e^{5x} \). L'égalité est vérifiée.
• Question 2 : Résolution directe de \( y' = -0,5y \). Application du cours : les solutions sont de la forme \( y(x) = k e^{-0,5x} \).
• Question 3 : Un problème complet similaire à l'exercice 2. Il faut résoudre \( y' = 4y - 8 \) avec la condition initiale \( y(0) = 3 \). La démarche est identique : trouver la solution générale \( y(x) = k e^{4x} + 2 \) puis utiliser la condition initiale pour trouver \( k \).
• Question 4 : Cette question sort du cadre strict des équations étudiées en classe pour tester la compréhension profonde de la notion de solution.
  • a. Pour l'équation \( 2y - xy' = 0 \) et la fonction \( g(x) = 3x^2 \), on calcule \( g'(x) = 6x \). On substitue dans l'équation : \( 2g(x) - xg'(x) = 2(3x^2) - x(6x) = 6x^2 - 6x^2 = 0 \). Donc \( g \) est bien solution.
  • b. Pour l'équation \( y' + y^2 = 0 \) et la fonction \( h(x) = \frac{1}{x} \), on calcule \( h'(x) = -\frac{1}{x^2} \). On substitue : \( h'(x) + [h(x)]^2 = -\frac{1}{x^2} + (\frac{1}{x})^2 = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 0 \). Donc \( h \) est bien solution sur \( ]0; +\infty[ \).