Découvrez un sujet de contrôle corrigé de mathématiques pour la classe de Terminale STI2D, entièrement dédié au chapitre sur les nombres complexes et plus particulièrement à leur forme exponentielle. Ce devoir d'une heure, avec calculatrice autorisée, est une excellente ressource pour s'entraîner et maîtriser les compétences clés de ce chapitre fondamental. Le sujet est structuré en quatre exercices variés qui balayent les aspects essentiels : manipulation des formes complexes, résolution d'équations et applications en trigonométrie et en algorithmique.

Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas à travers chaque question, en mettant l'accent sur la méthode, la justification des réponses et les astuces à connaître. Idéal pour la préparation au baccalauréat STI2D, ce document est un support pédagogique précieux pour les élèves et les enseignants.

Exercice 1 : Quatre affirmations

Cet exercice est un Vrai ou Faux qui teste la compréhension des propriétés de base de la notation exponentielle. Chaque réponse doit être rigoureusement justifiée.

• Affirmation 1 : Pour tout réel \(\theta\), \(|e^{i\theta}| = 1\).
  Il s'agit de vérifier une propriété fondamentale du cours. La forme exponentielle \(e^{i\theta}\) correspond à un nombre complexe de module 1 et d'argument \(\theta\). La réponse est donc Vraie. La justification passe par la définition : \(e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)\), donc \(|e^{i\theta}| = \sqrt{\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)} = \sqrt{1} = 1\).
• Affirmation 2 : Le nombre complexe \(3e^{i\pi}\) est un nombre réel.
  Pour le savoir, il faut convertir le nombre en forme algébrique. On sait que \(e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1 + i \cdot 0 = -1\). Ainsi, \(3e^{i\pi} = 3 \times (-1) = -3\). C'est bien un nombre réel. L'affirmation est Vraie.
• Affirmation 3 : Le nombre complexe \(4e^{-i\frac{\pi}{3}}\) a pour partie imaginaire \(2\sqrt{3}\).
  Encore une fois, le passage à la forme algébrique s'impose. On a \(e^{-i\frac{\pi}{3}} = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\). Donc, \(4e^{-i\frac{\pi}{3}} = 4\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 - 2i\sqrt{3}\). La partie imaginaire est \(-2\sqrt{3}\), et non \(2\sqrt{3}\). L'affirmation est Fausse.
• Affirmation 4 : Pour tous réels \(\theta\) et \(\theta'\), on a \(e^{i\theta} + e^{i\theta'} = e^{i(\theta+\theta')}\).
  Ceci est un piège classique qui confond l'addition et la multiplication. La propriété du cours est \(e^{i\theta} \times e^{i\theta'} = e^{i(\theta+\theta')}\). Pour montrer que l'affirmation est fausse, un contre-exemple suffit. Si \(\theta = 0\) et \(\theta' = 0\), \(e^{i0} + e^{i0} = 1+1=2\), alors que \(e^{i(0+0)} = e^0 = 1\). L'affirmation est Fausse.

Exercice 2 : Passer d'une forme à l'autre

Cet exercice central évalue la capacité à naviguer entre les différentes écritures d'un nombre complexe (algébrique et exponentielle) et à les utiliser pour résoudre des équations.

• 1) Écrire \(z_1 = -1 + i\sqrt{3}\) sous forme exponentielle.
  On calcule d'abord le module : \(|z_1| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2\). Ensuite, on cherche l'argument \(\theta\) tel que \(\cos(\theta) = \frac{-1}{2}\) et \(\sin(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). L'angle correspondant est \(\theta = \frac{2\pi}{3}\). La forme exponentielle est donc \(z_1 = 2e^{i\frac{2\pi}{3}}\).
• 2) Écrire \(z_2 = 5e^{-i\frac{\pi}{4}}\) sous forme algébrique.
  On utilise la définition : \(z_2 = 5(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})) = 5(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5\sqrt{2}}{2} - i\frac{5\sqrt{2}}{2}\).
• 3) Donner la forme exponentielle de \(z_1 z_2\) et de \(\frac{z_1}{z_2}\).
  L'utilisation de la forme exponentielle simplifie grandement les calculs. Pour le produit : \(z_1 z_2 = (2e^{i\frac{2\pi}{3}})(5e^{-i\frac{\pi}{4}}) = 10e^{i(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{4})} = 10e^{i\frac{5\pi}{12}}\). Pour le quotient : \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{2e^{i\frac{2\pi}{3}}}{5e^{-i\frac{\pi}{4}}} = \frac{2}{5}e^{i(\frac{2\pi}{3}-(-\frac{\pi}{4}))} = \frac{2}{5}e^{i\frac{11\pi}{12}}\).
• 4) Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \((2 + i)z - 3 = 1 + 4i\).
  C'est une équation linéaire. On isole \(z\) : \((2+i)z = 4+4i\), soit \(z = \frac{4+4i}{2+i}\). Pour trouver la forme algébrique, on multiplie par le conjugué du dénominateur : \(z = \frac{(4+4i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{8-4i+8i-4i^2}{4-i^2} = \frac{12+4i}{5} = \frac{12}{5} + i\frac{4}{5}\).
• 5) Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(z^2 = -16\).
  On peut écrire \(-16 = 16 \times (-1) = 16i^2 = (4i)^2\). L'équation devient \(z^2 = (4i)^2\), dont les solutions sont \(z=4i\) et \(z=-4i\).

Exercice 3 : Une valeur exacte à conquérir

Cet exercice est une application classique des nombres complexes à la trigonométrie, demandant de retrouver la valeur exacte d'un cosinus pour un angle non remarquable. La démarche n'est pas guidée, il faut donc faire preuve d'initiative.

L'objectif est de démontrer que \(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\). L'indication suggère d'obtenir \(\frac{\pi}{12}\) à partir d'angles connus, par exemple \(\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\). On utilise alors les nombres complexes : \(e^{i\frac{\pi}{12}} = e^{i(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})} = \frac{e^{i\frac{\pi}{3}}}{e^{i\frac{\pi}{4}}}\). On passe aux formes algébriques : \(e^{i\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\). Le quotient s'écrit : \(\frac{\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}\). En multipliant par le conjugué du dénominateur \((\sqrt{2}-i\sqrt{2})\), on obtient : \(\frac{(1+i\sqrt{3})(\sqrt{2}-i\sqrt{2})}{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{2}-i\sqrt{2}+i\sqrt{6}-i^2\sqrt{6}}{4} = \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{6}) + i(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}\). Par identification, la partie réelle de \(e^{i\frac{\pi}{12}}\) est \(\cos(\frac{\pi}{12})\). On a donc bien \(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\).

Exercice 4 : Un script qui cherche une forme exponentielle

Ce dernier exercice fait le lien entre les mathématiques et l'informatique en demandant d'analyser un script Python qui calcule la forme exponentielle d'un nombre complexe.

• 1) Application du script.
  Pour l'appel `forme_exponentielle(-1, sqrt(3))`, on a \(a=-1\) et \(b=\sqrt{3}\). Le script calcule \(r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2\). Ensuite, \(\theta = \text{acos}(-1/2) = \frac{2\pi}{3}\). La condition `b < 0` est fausse, donc la valeur de \(\theta\) n'est pas changée. Le script renvoie \((2, \frac{2\pi}{3})\).
• 2) Rôle du test `if b < 0`.
  La fonction `acos(x)` renvoie une valeur dans l'intervalle \([0, \pi]\). Or, l'argument d'un nombre complexe peut être dans \(]-\pi, \pi]\). Connaître \(\cos(\theta) = a/r\) ne suffit pas pour déterminer \(\theta\) de manière unique. Il y a deux solutions, \(\theta_0\) et \(-\theta_0\). Le signe de \(b\), qui est proportionnel à \(\sin(\theta)\), permet de choisir la bonne. Si \(b < 0\), \(\sin(\theta)\) doit être négatif, et il faut donc prendre l'angle opposé à celui donné par `acos`. C'est le rôle de la ligne `theta = -theta`.
• 3) Cas `forme_exponentielle(0, 0)`.
  Si on appelle le script avec \(a=0\) et \(b=0\), \(r\) sera calculé comme étant 0. L'étape suivante `acos(a/r)` tenterait de calculer `acos(0/0)`, ce qui provoquerait une erreur de division par zéro. Le nombre complexe nul n'a pas d'argument défini, c'est pourquoi il est exclu.
• 4) Application à un imaginaire pur.
  Pour `forme_exponentielle(0, 5)`, on a \(a=0, b=5\). Le module est \(r = \sqrt{0^2+5^2}=5\). L'argument est \(\theta = \text{acos}(0/5) = \text{acos}(0) = \frac{\pi}{2}\). Le script renvoie \((5, \frac{\pi}{2})\), ce qui correspond bien à la forme exponentielle de \(z=5i\).