8. Loi binomiale : calculer et interpréter l'espérance

Introduction

Allez les amis, on est parti pour répondre à cette question qui revient tout le temps : comment est-ce qu'on fait pour calculer l'espérance d'une loi binomiale et pour interpréter cette espérance ? On fait ça tout de suite.

Calcul de l'espérance d'une loi binomiale

Pour calculer l'espérance d'une loi binomiale, il n'y a rien de plus simple. Il faut multiplier \(n\) (le nombre de fois où on répète l'expérience) par \(P\) (la probabilité du succès). Prenons un exemple : un service de streaming, genre Netflix, qui vend 100000 abonnements par mois. Un abonné est satisfait à 95% du temps. On note \(X\) la variable qui compte les abonnés satisfaits. Comment calculer et interpréter l'espérance ?

Interprétation de l'espérance d'une loi binomiale

Tout d'abord, on doit prouver que c'est bien une loi binomiale. On est face à la répétition d'une expérience aléatoire à deux issues possibles de manière indépendante et identique. Donc, on suit bien une loi binomiale de paramètres \(n\) (le nombre de fois où je répète l'expérience) et \(P\) (la probabilité du succès). Ici, \(n\) est égal à 100000 (le nombre d'abonnements) et \(P\) est égal à 0,95 (la probabilité qu'un abonné soit satisfait). Ensuite, on calcule directement l'espérance en disant que l'espérance de \(X\) est \(n \times P\), soit \(100000 \times 0,95 = 95000\). Vient ensuite le moment de l'interprétation. Il faut que vous fassiez une phrase avec un certain nombre de mots clés pour savoir si votre interprétation est valide ou pas. Il doit y avoir "moyenne", "répéter" et "un grand nombre de fois". Ici, une interprétation de 95000 serait : c'est le nombre d'abonnés satisfaits qu'on aura en moyenne si on répétait l'expérience (d'avoir 100000 abonnements) un grand nombre de fois. Autrement dit, sur plein de mois d'affilée, en moyenne, on aura 95000 abonnés satisfaits par mois. Voilà, vous avez interprété l'espérance d'une loi binomiale. Des petits exercices sont disponibles en dessous pour vérifier votre compréhension. À vous de jouer, vous êtes des champions !