3. Ecrire un nombre complexe sous forme algébrique

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir ce type d'exercice : comment est-ce qu'on fait pour mettre des nombres complexes sous forme algébrique ? On se fait ça tout de suite. Pour gérer ces nombres complexes, il faut que vous ayez bien conscience de la notion qui est en haut de la fiche qui s'affiche sous vos yeux. Et cette notion, c'est que le nombre \(i\) quand je le mets au carré, il est égal à -1. C'est ça la particularité de ce nombre \(i\). Ça va nous servir à développer ce genre d'expression.

Exemple 1

Prenons le premier \(Z = 2i^2\). Je vous rappelle qu'une expression algébrique d'un nombre complexe, c'est \(a + iB\) ou alors \(a - B \times i\) ou alors \(A + B \times i\), peu importe. Il faut que vous ayez un nombre réel plus un nombre réel multiplié par \(i\). Or là, vous voyez qu'il y a deux choses qui nous embêtent. Premièrement, j'ai pas de \(a\), donc ça peut blesser un peu l'œil. Deuxièmement, j'ai un carré qui est là. J'ai jamais dit qu'un nombre complexe était \(a + iB\) au carré. Non, un nombre complexe c'est juste \(a + iB\). Donc il va falloir développer légèrement cette expression pour qu'elle ressemble à l'expression de la fiche qui est \(A + iB\). Comment est-ce qu'on va faire ça ? Exactement de la même manière que si vous aviez \(3x\) au carré. A priori, ça vous angoisserait pas trop, vous diriez \(3x^2\) c'est comme \(3^2 \times x^2\), donc c'est \(9x^2\). Ça, ça vous pose aucun problème. Ben avec \(i\), c'est exactement le même mécanisme. Donc mon \(Z\) qui est là, qui vaut \(2i\), c'est \(2^2 \times i^2\). En réalité, j'ai même pas besoin de mettre les parenthèses. Pourquoi je les ai mises ? \(2^2\) ça me fait \(4\) et c'est là qu'intervient la chose que vous avez dans l'affiche : la propriété fondamentale de \(i\), c'est que \(i^2\) ça fait \(-1\). Donc je me retrouve avec \(4 \times -1\) et ça me fait \(-4\). Et vous allez dire : "Ouais, mais attends, \(-4\) c'est pas \(a + iB\)". Moi je vous dis si, \(-4\) c'est \(a\) qui est là plus \(i\) fois \(0\). Donc on a un nombre complexe qui a la particularité d'être un réel, c'est-à-dire que sa partie imaginaire est nulle, mais n'empêche qu'on l'a écrit sous forme algébrique.

Exemple 2

2ème exercice : \(Z = (3 - 2i)^2\). Donc là, je sais que vous êtes tout perturbé, que ça vous fait des frissons bizarres parce qu'il y a des \(i\) et que du coup, je vais souvent voir une erreur du genre : "Bah \(3 - 2i\) au carré, aucun problème, \(3^2 - 2i^2\)" et là, vous avez mis une grande gifle à toutes les identités remarquables que vous avez appris depuis la 4ème parce que \(3 - 2i\) au carré, ça fait surtout pas \(3^2 - 2i^2\). De la même manière que \(A - B\) au carré, ça a jamais fait \(A^2 - B^2\). Respectez un peu les maths, les gars, s'il vous plaît. Donc \(3 - 2i^2\), c'est évidemment une forme \(A - B\) au carré et \(A - B\) au carré, je vous rappelle que ça fait \(A^2 - 2AB + B^2\). Du coup, quand je vais avoir mon \(3 - 2i\) au carré, je vais le développer avec l'identité remarquable, ça va me faire \(3^2 - 2 \times 3 \times 2i + (2i)^2\). Et je reprends le même travail que j'ai fait avant : \(3^2 = 9\), \(2 \times 3 \times 2i = -12i\), \((2i)^2 = -4\). Donc, \(9 - 4 = 5\), donc \(5 - 12i\). Est-ce que j'ai bien une forme \(a + iB\) ? Oui, j'ai une forme \(a + iB\) avec mon \(a\) qui vaut \(5\) et mon \(B\) qui vaut \(-12\). J'ai une forme algébrique.

Exemple 3

Allez, le petit dernier : \(Z = (2 - i) \times (2 + 2i)\). Ça, c'est pour vous montrer que finalement, quand vous manipulez des nombres complexes, il n'y a rien qui change, sauf \(i^2 = -1\). Mais tout ce qu'on faisait avant, donc distribuer des carrés, les identités remarquables, la double distributivité, on peut le faire comme d'habitude. Quand vous avez \((2 - i) \times (2 + 2i)\), vous allez prendre votre \(2\), le multiplier avec ce \(2\), puis le multiplier avec le \(2i\). Le \(-i\), vous allez le multiplier là, puis vous allez le multiplier là. Ça change strictement rien. Du coup, votre \(Z\) il vaut \(2 \times 2 = 4\), \(2 \times 2i = 4i\), \(-i \times 2 = -2i\), \(-i \times 2i = -2i^2\). Et là, je bosse : \(4 + 4i - 2i = 4 + 2i\), \(-2i^2 = 2\). Donc je me retrouve avec \(4 + 2i + 2 = 6 + 2i\). BIM, j'ai une forme algébrique \(a + iB\). En vrai, ces exercices là, c'est excessivement simple. On vous en a mis plein en dessous, allez vous entraîner à manipuler ces nombres comme si c'était des nombres réels, à la différence que \(i^2 = -1\). À vous de jouer, vous êtes des champions.