10. Utiliser la forme exponentielle pour trouver des modules et des arguments hardcore

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment est-ce qu'on fait pour traiter ce genre d'exercice. On vous donne une forme algébrique, par exemple \(1 + i\), avec une puissance vraiment hardcore, genre 2025, et on vous demande de donner sa forme algébrique. Nous, on est malin, on va utiliser la forme exponentielle. Ça va prendre 2 secondes, on se fait ça tout de suite.

Passage à la forme exponentielle

Pour résoudre ce genre d'exercice, la première étape c'est de dire : bon, ce \(1 + i\) à la puissance 2025, mon \(1 + i\), je vais l'écrire sous forme exponentielle. Pourquoi ? Parce que les puissances avec exponentielle, c'est extrêmement facile à gérer. Donc comment est-ce que je passe \(1 + i\) sous forme exponentielle ? Je vais le faire sauter ici. Ça, a priori, vous savez le faire. Donc moi, je sais que \(1 + i\) c'est \(\sqrt{2}\) exponentielle de \(i \pi/4\). Comment on fait ça ? Si vous avez un doute, vous allez voir la compétence numéro 7 : forme exponentielle d'un nombre complexe. Très très bonne compétence, très très bons exercices, je vous la recommande.

Calcul de la puissance

La beauté de ce truc là, c'est que si vous aviez \(1+i\) à la puissance 2025, il aurait fallu que vous fassiez \(1 + i \times 1 + i \times 1 + i \times 1 + i \times 1 + i\) 2025 fois et ensuite que vous vous tapiez la distributivité 2025 fois. Alors que la beauté de la chose, quand j'ai \(a \times b\) à la puissance 2025, c'est comme si j'avais \(a^{2025} \times b^{2025}\). Donc quand je me prends \(\sqrt{2}^{2025} \times e^{i \pi/4^{2025}}\), ça me fait \(\sqrt{2}^{2025}\) multiplier par \(e^{i \pi/4^{2025}}\). Autre magie de l'exponentiel, c'est que quand vous avez \(e^a\) le tout à la puissance \(n\), ça me fait \(e^{n \times a}\). Et du coup, je me retrouve ici avec mon \(\sqrt{2}^{2025}\) multiplié par \(e^{i \pi/4 \times 2025}\). Et là, je peux balancer directement le module, c'est \(\sqrt{2}^{2025}\), et l'argument c'est \(\pi/4 \times 2025\).

Traitement de l'argument

On n'est pas des chiens, on va quand même traiter un peu ce truc là, cet argument \(\theta\) qui vaut \(\pi/4\) fois 2025. On va dire que c'est quasiment 2025, enfin c'est exactement 2025 \(\pi/4\). Moi, j'aimerais bien faire disparaître les tours. Donc on va essayer de trouver la mesure principale de l'angle. Donc mon 2025 \(\pi/4\), je vais dire que finalement c'est un certain nombre de fois \(\pi\) plus un petit reste. Ce petit reste là, ça va être ma mesure principale et c'est là-dessus qu'on va donner comme argument. Donc plutôt que de savoir combien de fois j'ai \(2\pi\) dans 2025 \(\pi/4\), je vais le mettre sur 4 et je vais me demander combien de fois j'ai \(8\pi\) dans 2025. Donc je prends ma petite calculatrice, et je vais diviser 2025 par 8 et il rentre 253 fois. Donc je sais que mon 2025 \(\pi/4\), il y est 253 fois et je vais avoir un reste de \(\pi/4\). Donc mon \(\theta\), mon argument, ça va être \(\pi/4\).

Forme algébrique

Une fois que j'ai trouvé l'argument et le module, je peux donner une petite forme algébrique. Ma forme algébrique, ça va être \(\sqrt{2}^{2025} \times (\cos(\pi/4) + i \sin(\pi/4))\). Et ça va être \(\sqrt{2}^{2025} \times (\sqrt{2}/2 + i \times \sqrt{2}/2)\). Donc vous voyez que non seulement je peux donner le module et l'argument, mais je peux même donner une forme algébrique de ce nombre complexe. La puissance de l'exponentiel n'a pas ses preuves à faire. Dès qu'il y a une puissance, dès qu'il y a un quotient, dès qu'il y a des produits, on passe par la forme exponentielle qui est beaucoup plus forte. On vous a mis plein d'exercices d'application en dessous, à vous de jouer, vous êtes des champions.