Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir une super compétence avec une super propriété de \(\ln\) qu'on peut combiner avec l'exponentielle pour résoudre des équations comme vous n'avez jamais résolu. On se fait ça tout de suite.
Rappel
Pour rappel, quand vous étiez en première, une équation de ce type là \(e^x = 1\), vous la résolviez comme ça : vous disiez, bon finalement le seul truc que je sais c'est que quand j'ai \(e^a = e^b\), j'ai le droit de virer les exponentielles et je me retrouve avec \(a = b\). Du coup, vous vous débrouillez pour écrire ça sous la forme \(e^{\text{quelque chose}} = e^{\text{quelque chose}}\). Or, vu que vous êtes extrêmement bon, vous vous souvenez tout à fait de l'allure qu'a la fonction exponentielle.
Sur un beau dessin, notre fonction exponentielle passe par le point (0,1). Donc, vous pouvez remplacer 1 par \(e^0\). Donc, vous aviez \(e^x = e^0\) et vous aviez votre \(e^a = e^b\) qui va aller à \(x = 0\) et vous aviez la solution de votre équation.
Sauf que, regardez, si au lieu d'avoir \(e^x = 1\), j'ai \(e^x = 2\), le problème de 2 c'est que vous ne pouvez pas faire comme pour 1, vous ne pouvez pas dire que c'est \(e^0\). Il est là et c'est \(e^{\text{quelque chose}}\) et ce quelque chose est un nombre réel qui n'est pas évident à déterminer.
Propriété fondamentale de \(\ln\) et \(e\)
C'est là qu'intervient une propriété fondamentale de \(\ln\) et \(e\). J'ai envie que vous la compreniez. Pour ça, il faut que je sois bon en dessin.
Prenons un nombre \(x\). Je vais d'abord le transformer avec \(\ln\), donc je vais aller chercher ici \(\ln x\). Ensuite, je vais prendre \(\ln x\) et je vais le remettre sur l'axe horizontal grâce à \(y = x\). Donc là, j'avais \(x\), je suis parti, je suis allé sur \(\ln\), là j'ai \(\ln x\), j'ai pris \(\ln x\) et je l'ai remis sur l'axe horizontal. Pourquoi j'ai fait ça ? Pour pouvoir prendre \(\ln x\) et l'envoyer dans \(e^x\).
Donc, quand je prends un nombre, que je l'envoie dans \(\ln x\), puis que je l'envoie dans \(e^x\), je retourne sur \(x\). Autrement dit, \(e^{\ln x} = x\) et si j'avais fait l'inverse, c'est-à-dire si j'étais passé par d'abord \(e\) puis \(\ln\), je me serais retrouvé aussi sur \(x\). Donc en fait, \(\ln(e^x) = x\). Autrement dit, les fonctions \(\ln\) et \(e\) s'annulent, ce sont les fonctions réciproques. Quand vous avez un nombre qui est passé dans l'une puis dans l'autre, il revient à l'original.
Du coup, quand vous avez quelque chose comme \(e^x = 2\), regardez ce qui se passe si vous composez par \(\ln\) des deux côtés, c'est à dire si vous prenez les deux bouts et vous les mettez là dedans. Et bien, \(\ln(e^x) = \ln 2\), donc vous vous retrouvez avec \(x = \ln 2\) et c'est terminé. \(\ln 2\) c'est une réponse, c'est un nombre réel.
Donc, pour se débarrasser d'une exponentielle, il suffit de composer des deux côtés par \(\ln\). Et de la même manière, pour se débarrasser d'un \(\ln\), il suffit de composer des deux côtés par une exponentielle.
Et quand j'ai un truc plus compliqué comme \(e^{2x+5} = 5\), je compose par \(\ln\), \(\ln(e^{2x+5}) = \ln 5\), donc je me retrouve avec \(2x + 5 = \ln 5\). Et là, j'isole mon \(x\) tranquille, je passe le 5 de l'autre côté, ça me fait \(2x = \ln 5 - 5\) et finalement \(x = \frac{\ln 5 - 5}{2}\).
Voilà, c'est terminé. \(\ln 5\) c'est un nombre, donc \(\frac{\ln 5 - 5}{2}\) c'est un nombre. Je vous ai mis des exercices en dessous, ça c'est la base de la base. À vous de jouer, vous êtes des champions.