Découvrez ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Terminale STI2D, entièrement dédié au chapitre de la fonction exponentielle. D'une durée de 1h30, ce devoir est un excellent outil de révision qui balaie les compétences essentielles : étude de fonctions, calcul de dérivées et de limites, résolution d'équations et d'inéquations, et même une initiation à l'algorithmique avec Python. Ce document est idéal pour s'entraîner en conditions réelles et valider sa compréhension des concepts clés liés à l'exponentielle. Retrouvez une analyse détaillée de chaque exercice pour vous préparer efficacement à vos examens.

Exercice 1 : L'atténuation dans une fibre optique (8 points)

Cet exercice est une étude de fonction complète appliquée à une situation concrète issue de la physique. On modélise la puissance d'un signal lumineux dans une fibre optique par la fonction \( P(x) = 5e^{-0,05x} \), où \( x \) représente la distance en kilomètres.

• Question 1 : Il s'agit d'une mise en route par le calcul d'images. On vérifie la puissance initiale en calculant \( P(0) \) et on détermine la puissance restante après 10 km en calculant \( P(10) \). C'est l'occasion de manipuler la fonction exponentielle et d'utiliser sa calculatrice à bon escient.
• Question 2 : Cette question est au cœur de l'analyse de fonction. Il faut calculer la dérivée \( P'(x) \), ce qui requiert la maîtrise de la formule de dérivation de \( e^{u(x)} \). Une fois la dérivée obtenue, \( P'(x) = 5 \times (-0,05)e^{-0,05x} = -0,25e^{-0,05x} \), on étudie son signe sur \( [0; +\infty[ \). Sachant que l'exponentielle est toujours positive, le signe de \( P'(x) \) est simple à déterminer, ce qui permet de dresser le tableau de variation de \( P \) et d'interpréter physiquement la décroissance de la puissance du signal.
• Question 3 : On aborde ici la résolution d'inéquations. L'objectif est de trouver à partir de quelle distance la puissance du signal devient inférieure à 2 mW, c'est-à-dire résoudre \( P(x) < 2 \). La méthode demandée s'appuie sur le tableau de valeurs de la calculatrice, une compétence pratique essentielle.
• Question 4 : Le calcul de limite est incontournable. On doit déterminer la limite de \( P(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \). Cela fait appel aux limites de référence de la fonction exponentielle. L'interprétation physique du résultat (la puissance du signal tend vers zéro sur une très longue distance) permet de donner du sens au calcul.
• Question 5 : Cette dernière question teste la connaissance des propriétés fondamentales de la fonction exponentielle. En cherchant à résoudre l'équation \( P(x) = 0 \), on doit conclure qu'il n'y a pas de solution car \( e^X > 0 \) pour tout réel \( X \). Cela permet de discuter de la validité et de la portée du modèle mathématique.

Exercice 2 : Vrai ou Faux (4 points)

Cet exercice rapide et technique vise à vérifier la maîtrise des propriétés algébriques et analytiques de la fonction exponentielle. Chaque affirmation doit être rigoureusement justifiée.

• Affirmation 1 : "Pour tout réel x, \( e^x > 0 \)." Il s'agit d'une propriété de cours fondamentale sur la stricte positivité de l'exponentielle.
• Affirmation 2 : "La courbe de la fonction \( x \mapsto e^{-x} \) finit par couper l'axe des abscisses." Cette affirmation est fausse et se justifie en montrant que l'équation \( e^{-x} = 0 \) n'a pas de solution, toujours en vertu de la positivité de l'exponentielle.
• Affirmation 3 : "lim \( x^2 e^{-x} \) quand \( x \to +\infty \) est \( +\infty \)." Il s'agit d'une forme indéterminée qui se lève grâce aux théorèmes de croissance comparée. On doit savoir que l'exponentielle l'emporte sur les fonctions puissance, la limite est donc 0.
• Affirmation 4 : "Si \( e^{2x} = e^{x+3} \), alors \( x = 3 \)." Cette affirmation est vraie. Sa justification passe par la résolution d'une équation exponentielle simple, en utilisant la propriété d'injectivité : \( e^A = e^B \Leftrightarrow A = B \).

Exercice 3 : À la recherche du nombre e (8 points)

Cet exercice original mêle analyse et algorithmique pour explorer la définition du nombre \( e \). On s'intéresse à la pente de la tangente en 0 de la fonction \( x \mapsto a^x \), approchée par le taux de variation \( \tau(a) = \frac{a^h - 1}{h} \). Le nombre \( e \) est la base unique \( a \) pour laquelle cette pente vaut 1.

• Question 1 : Par une simple lecture d'un tableau de valeurs fourni, il faut encadrer le nombre \( e \) entre deux valeurs de \( a \).
• Question 2 & 3 : On analyse un script Python qui implémente une recherche de cette valeur de \( a \). Il faut comprendre le fonctionnement de la boucle `while`, le rôle du pas d'itération et son influence sur la précision du résultat et le temps de calcul.
• Question 4 & 5 : Ces questions poussent à une analyse plus fine de l'algorithme. Il faut prévoir son comportement si on change la valeur initiale, le modifier pour qu'il reste fonctionnel, et enfin, déterminer si la valeur retournée est une approximation par excès ou par défaut de \( e \), en justifiant et en majorant l'erreur. C'est une excellente introduction aux méthodes numériques.

En conclusion, ce contrôle corrigé de Terminale STI2D est un sujet complet sur la fonction exponentielle, qui couvre à la fois les aspects analytiques (dérivée, variations, limites) et les applications concrètes, sans oublier une ouverture sur l'algorithmique.