2. Justifier une loi binomiale

Introduction

Allez les amis, on est parti pour régler le sort de cette phrase qui arrive dans tous vos contrôles et dans tous vos bacs blancs sur la loi binomiale. Ce sont ces phrases où on vous demande de justifier que \(X\) suit une loi binomiale et de donner ses paramètres, ou alors de donner la loi qui est suivie par une variable aléatoire. On se fait ça tout de suite.

Exemple d'énoncé

Un énoncé dit : "On lance 10 fois un dé et on note \(X\) la variable qui compte le nombre de fois où on a obtenu 6. Justifiez que cette loi suit une loi binomiale et donner la valeur des paramètres." On le retrouve ici, on le retrouve là, bref, c'est quelque chose qu'on retrouve dans quasiment tous les exercices de bac et tous les contrôles. Pour répondre à cette question, il faut déjà bien avoir compris ce qu'est une loi binomiale. Je vous rappelle que pour l'instant, vous connaissez une expérience de Bernoulli. Une expérience de Bernoulli est une expérience qui est aléatoire, c'est-à-dire qu'on ne peut pas savoir à l'avance ce qui va se passer, avec deux issues : soit le succès, soit l'échec. On note \(P\) la probabilité du succès et \(Q = 1 - P\) la probabilité de l'échec.

Explication de la loi binomiale

Maintenant, imaginons qu'on répète un certain nombre de fois \(N\) cette expérience de Bernoulli. Alors, l'ensemble de ces expériences devient une loi binomiale, à condition que chaque fois que vous répétez votre expérience, cela soit dans les mêmes conditions. Autrement dit, que les expériences soient identiques et indépendantes. On peut justifier en disant qu'une expérience suit une loi binomiale si il s'agit de la répétition d'une expérience aléatoire à deux issues possibles, de manière identique et indépendante. Ces cinq mots doivent être à tout prix dans votre justification. Une fois que vous avez justifié cela, vous pouvez dire que les paramètres sont tout simplement \(N\) et \(P\). Donc, dans le cas de mon expérience, vu que je vais répéter 10 fois l'expérience et que le but c'est de compter le nombre de 6, dans mon expérience j'ai une chance sur 6 de faire un 6. Donc, mon expérience suit une loi binomiale de paramètres 10 et 1/6. On va noter que \(X\) suit une loi binomiale de paramètres 10 et 1/6, à condition que ce soit la répétition d'une expérience aléatoire à deux issues possibles, de manière identique et indépendante.

Conclusion

On vous a mis des exercices en dessous, à vous de jouer. Vous êtes des champions, vous allez me défoncer ce contrôle.