Exercice 1 : La droite d'étalonnage

Cet exercice est une application classique des statistiques à deux variables dans un contexte de chimie. Il s'agit d'étudier la relation entre la concentration c d'un colorant et son absorbance A, qui est une relation typiquement linéaire dans un certain domaine. Ce sujet de maths aborde l'ajustement affine de manière très concrète.

• Question 1 : Le point de départ est le calcul des coordonnées du point moyen G du nuage de points. Cela nécessite de calculer la moyenne des concentrations (c) et la moyenne des absorbances (A) à partir du tableau de données fourni. Le point moyen, noté \(G(\bar{c}, \bar{A})\), est un indicateur central de la série statistique double.
• Question 2 : Il est demandé d'utiliser la calculatrice pour déterminer l'équation de la droite d'ajustement affine selon la méthode des moindres carrés. C'est une compétence technique essentielle du chapitre, permettant de modéliser la relation entre A et c par une fonction affine de la forme \(A = ac + b\).
• Question 3 : On propose un modèle simplifié, \(A = 0,084c\), qui est une fonction linéaire. La question consiste à vérifier la pertinence de ce modèle en le confrontant à une des mesures expérimentales du tableau. C'est un test de cohérence du modèle.
• Question 4 : Cette question fait appel au bon sens physique et à l'interprétation du modèle. Expliquer pourquoi la droite passe par l'origine revient à comprendre que si la concentration en colorant est nulle (\(c=0\)), alors l'absorbance mesurée doit également être nulle (\(A=0\)).
• Question 5 : C'est une application directe du modèle. À partir d'une absorbance mesurée \(A=0,45\), on doit retrouver la concentration correspondante c. Cela revient à résoudre une équation du premier degré simple : \(0,45 = 0,084c\). C'est le calcul d'un antécédent par la fonction modèle.
• Question 6 : L'exercice se conclut par une prise de décision basée sur le calcul précédent. La concentration calculée doit être comparée à une norme de rejet (concentration maximale autorisée). Il s'agit de vérifier si le prélèvement est conforme, ce qui revient à évaluer une inégalité : la concentration calculée est-elle inférieure à 5 mg/L ?

Exercice 2 : Deux notes de service

Cet exercice pousse plus loin l'analyse critique d'un modèle mathématique et de son domaine d'application. Il met en scène une situation professionnelle où deux documents mènent à des conclusions différentes, soulignant l'importance de bien utiliser les outils statistiques. Ce type de problème est fréquent en Terminale STI2D.

• Question 1 : Il s'agit d'une simple vérification de calcul. En utilisant le modèle de la droite d'étalonnage \(A = 0,084c\), on doit confirmer que pour une absorbance de 1,30, la concentration est bien d'environ 15,5 mg/L.
• Question 2 : C'est le cœur de l'exercice. Il faut confronter la mesure du document 2 (absorbance de 1,30) au domaine de validité de l'étalonnage spécifié dans le document 1 (absorbance entre 0,05 et 0,90). La mesure étant en dehors de cette plage, l'utilisation du modèle linéaire n'est plus garantie et les conclusions du document 2 sont donc irrecevables.
• Question 3 : Cette question, très pratique, demande de proposer une solution pour contourner le problème. La bonne pratique en laboratoire lorsque la mesure est trop élevée est de diluer l'échantillon pour ramener sa concentration (et donc son absorbance) dans le domaine de validité de l'étalonnage.
• Question 4 : Bien que la valeur exacte de la concentration ne puisse être déterminée, il est demandé si l'on peut tout de même affirmer que la norme de 5 mg/L est dépassée. Le raisonnement est le suivant : puisque l'absorbance de 1,30 est supérieure à la limite maximale de validité (0,90), la concentration réelle est nécessairement supérieure à la concentration correspondant à 0,90. Un rapide calcul montre que cette concentration limite est déjà bien au-dessus de 5 mg/L, ce qui permet de conclure.

Exercice 3 : Chercher la meilleure droite

Ce dernier exercice introduit le principe mathématique qui sous-tend la régression linéaire : la méthode des moindres carrés. Il s'appuie sur un script Python pour illustrer le concept de minimisation de la somme des carrés des écarts.

• Question 1 : Question de cours sur la méthode des moindres carrés. La variable ecart représente le résidu, c'est-à-dire la différence verticale entre un point observé \(y_i\) et la valeur prédite par la droite \(ax_i + b\). On élève cet écart au carré pour deux raisons : d'une part, pour que les écarts positifs et négatifs ne se compensent pas, et d'autre part, pour donner plus de poids aux points qui sont très éloignés de la droite.
• Question 2 : C'est un calcul manuel pour bien s'approprier la formule \(S(a; b) = \sum (y_i - (ax_i + b))^2\). Il faut calculer, pour chaque point du nuage, l'écart à la droite candidate \(y = 0,02x\), l'élever au carré, puis sommer ces cinq valeurs.
• Question 3 : À partir d'un tableau de valeurs de \(S(a;b)\) pour quatre droites différentes, il faut identifier la meilleure. Selon le principe des moindres carrés, la meilleure droite est celle pour laquelle la somme des carrés des écarts, \(S\), est la plus petite.
• Question 4 : Cette question porte sur l'algorithmique. Il est demandé d'écrire une fonction en langage Python qui, recevant une liste de droites (définies par leurs coefficients a et b), détermine et renvoie celle qui minimise la fonction \(S(a;b)\) (préalablement définie).
• Question 5 : Question de réflexion qui vise à évaluer la compréhension globale de la méthode. Le procédé de l'exercice (tester un nombre fini de droites) ne garantit pas de trouver la meilleure droite possible au sens mathématique. Il ne fait que trouver la meilleure parmi celles qui ont été testées. La véritable régression linéaire utilise des méthodes analytiques pour trouver les coefficients a et b qui minimisent S de manière absolue.

Ce contrôle corrigé pour Terminale STI2D sur les statistiques à deux variables est un excellent entraînement. Il couvre l'ensemble des compétences attendues : du calcul du point moyen à la détermination de la droite de régression linéaire, en passant par l'interprétation et l'utilisation d'un modèle pour résoudre un problème concret. L'ajout d'une partie sur l'algorithmique avec Python est également très pertinent par rapport aux nouveaux programmes.