Introduction
Allez les petits poussins, c'est parti ! On va voir comment utiliser le tableau de variation pour trouver les maximums, les minimums et même s'interroger sur le signe des fonctions. Ce type de questions commence toujours de la même manière : dresser un tableau de variation et en déduire les éventuels extrêmes de \(f\). Les extrêmes, ça veut dire les maximums ou les minimums. On peut aussi vous demander de dresser le tableau de variation et ensuite on vous dit : est-ce que la fonction admet un maximum ou est-ce qu'elle admet un minimum ? On peut aussi vous demander de dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) et en déduire le signe de la fonction. Donc dans tous les cas, on commence par dresser le tableau de variation. Vous connaissez les étapes : je dérive, je dresse le tableau de signes de la dérivée et j'en déduis le tableau de variation.
Exemple de dérivation et tableau de variation
C'est parti donc, je vais prendre des fonctions simples pour commencer. Alors, prenons \(f(x)\), un polynôme du second degré. Donc je le dérive tranquillement. \(f'(x)\) ça me fait \(2x + 2\). Je fais le tableau de signes de \(x\) de \(-\infty\) à \(+\infty\). Alors, le signe de cette fonction, qu'est-ce que c'est ? Comme fonction, \(2x + 2\), c'est une fonction affine \(ax + b\). Une fonction affine, quand est-ce qu'elle s'annule ? Soit vous vous souvenez que c'est \(-b/a\), donc \(2x + 2 = 0\), ça veut dire que \(2x = -2\), ça veut dire que \(x = -2/2\), c'est-à -dire \(-1\). Donc là , j'ai \(f'(x)\) qui s'annule en \(-1\). C'est une fonction affine, et comment est son coefficient directeur ? Il est positif, donc la fonction est croissante. Si elle est croissante, ça veut dire qu'avant \(-1\), elle est négative et après \(-1\), elle est positive. Tranquille, j'en déduis les variations de \(f\). Elle décroît puis elle croît. Je complète le tableau en mettant la valeur qui est ici, donc je suis sur la ligne \(f\) pour \(x = -1\), donc je vais chercher \(f(-1)\) et \(f(2)\), à savoir \(-1\) et \(4\).
Interprétation des résultats
Maintenant, on va pouvoir s'interroger sur ces extrêmes. Qu'est-ce qu'elle fait la fonction ? Elle descend jusqu'à \(4\) et ensuite elle remonte. Donc \(4\), c'est quoi pour cette fonction ? C'est le minimum. Effectivement, donc \(f\) admet comme minimum \(-4\) en \(x = -1\). C'est aussi simple que ça, vous avez déterminé un extrême. Maintenant, si je vous demande de vous interroger sur le signe de \(f\), regardez cette fonction : elle descend jusqu'à \(4\) et ensuite elle remonte. Donc qu'est-ce qu'on peut dire ? Si je descends jusqu'à \(4\) et que je remonte, comment suis-je par rapport à \(0\) ? Eh bien, je suis toujours au-dessus de \(4\) et \(4\) est lui-même au-dessus de \(0\). Du coup, je suis toujours au-dessus de \(0\). On peut donc en conclure que \(f\) est strictement positive. Voilà , vous avez tout compris !