Obtenez une correction détaillée pour ce contrôle de mathématiques de niveau Terminale, spécialité maths, centré sur le chapitre du calcul intégral. Ce sujet, d'une durée d'une heure, est un excellent entraînement pour maîtriser des concepts clés tels que le calcul d'aires, les primitives, l'intégration par parties (IPP), et l'étude de suites définies par une intégrale. Ce corrigé pas à pas vous aidera à consolider vos connaissances et à vous préparer efficacement pour les épreuves du baccalauréat.

Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale, Spécialité Mathématiques, Calcul intégral, Primitives, Intégration par Parties, Suite d'intégrales, Théorème des gendarmes, Aire entre deux courbes, Python.

Exercice 1 : Calcul d'aire entre deux courbes (6 points)

Cet exercice aborde un grand classique du chapitre sur les intégrales : le calcul de l'aire délimitée par deux courbes. On considère les fonctions polynômes du second degré \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\) et \(g(x) = x^2 + 3x - 4\).

• 1. Position relative des courbes : La première question demande de conjecturer la position relative des courbes représentatives de \(f\) et \(g\) à l'aide de la calculatrice, puis de le démontrer. Pour la démonstration, il faut étudier le signe de la différence \(d(x) = f(x) - g(x)\). On obtient :
  \(d(x) = (2x^2 - 3x + 1) - (x^2 + 3x - 4) = x^2 - 6x + 5\).
  L'étude du signe de ce trinôme du second degré, en calculant son discriminant et ses racines, permet de conclure sur quelle courbe est au-dessus de l'autre en fonction des intervalles.
• 2. Calcul de l'aire : Une fois la position relative connue, la deuxième question consiste à calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par ces deux courbes et les droites verticales d'équations \(x=2\) et \(x=4\). L'aire \(\mathcal{A}\) est donnée par l'intégrale de la valeur absolue de la différence entre les deux fonctions :
  \(\mathcal{A} = \int_2^4 |f(x) - g(x)| \,dx = \int_2^4 |x^2 - 6x + 5| \,dx\).
  Grâce à l'étude de signe précédente, on peut retirer la valeur absolue et calculer l'intégrale en trouvant une primitive du polynôme \(x^2 - 6x + 5\).

Exercice 2 : Étude d'une suite d'intégrales (14 points)

Cet exercice, plus complet, se concentre sur l'étude d'une suite \((I_n)\) définie par une intégrale à paramètre : \(I_n = \int_0^1 x^n e^{1-x} \,dx\) pour tout entier \(n \ge 1\). C'est un excellent moyen de combiner les outils du calcul intégral avec le raisonnement sur les suites.

• 1. Calcul du premier terme : Il faut d'abord prouver qu'une fonction \(F(x) = (-1 - x)e^{1-x}\) est bien une primitive de \(f(x) = xe^{1-x}\) sur l'intervalle \([0, 1]\). Cela se fait en dérivant \(F(x)\) et en vérifiant que \(F'(x) = f(x)\). Cette primitive permet ensuite de calculer la valeur exacte de \(I_1 = \int_0^1 xe^{1-x} \,dx\).
• 2. Intégration par parties et relation de récurrence : La question suivante utilise la technique de l'intégration par parties (IPP) pour établir une relation de récurrence entre \(I_{n+1}\) et \(I_n\). En posant judicieusement les fonctions \(u(x)\) et \(v'(x)\), on démontre que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), on a \(I_{n+1} = (n+1)I_n - 1\). Cette relation est ensuite utilisée pour calculer \(I_2\) à partir de la valeur de \(I_1\). Enfin, il est demandé de compléter un script Python qui utilise cette relation de récurrence pour générer la liste des termes de la suite.
• 3. Sens de variation : Pour déterminer le sens de variation de la suite \((I_n)\), on peut étudier le signe de la différence \(I_{n+1} - I_n\). Cela revient à calculer l'intégrale de la différence des intégrandes : \(\int_0^1 (x^{n+1}e^{1-x} - x^n e^{1-x}) \,dx = \int_0^1 x^n e^{1-x} (x-1) \,dx\). Comme l'intégrande est de signe constant (négatif) sur l'intervalle \([0, 1]\), on peut en déduire le signe de l'intégrale et donc le sens de variation de la suite.
• 4. Encadrement et limite de la suite : La dernière partie de l'exercice guide vers la détermination de la limite de \((I_n)\). On commence par justifier l'encadrement \(0 \le x^n e^{1-x} \le x^n e\) pour tout \(x \in [0, 1]\). En intégrant cet encadrement sur l'intervalle \([0, 1]\), on obtient un encadrement de \(I_n\). Finalement, en utilisant le théorème des gendarmes, on peut conclure sur la limite de la suite \((I_n)\) lorsque \(n\) tend vers l'infini.

Ce sujet de contrôle est très représentatif des attendus en Terminale spécialité maths sur le chapitre du calcul intégral, mêlant technique de calcul (primitives, IPP) et raisonnements plus théoriques (suites, limites, encadrements).