18. Étudier la position relative de 2 polynômes du 2nd degré

Introduction

Alors, on arrive à un point important de l'étude des polynômes. Une question qui revient quasiment systématiquement à chaque contrôle est le problème d'étudier la position relative de deux courbes. Admettons qu'on s'amuse à les tracer, cela consiste à dire qui est au-dessus et qui est au-dessous. Par exemple, si on se place sur un certain intervalle, on peut déterminer quelle fonction est au-dessus de l'autre. Le problème est que quand vous avez deux fonctions, vous n'avez pas nécessairement leur représentation graphique. Il va donc falloir apprendre à le faire sans cela.

Étudier la position relative de deux fonctions

Pour étudier la position relative de deux fonctions, on va étudier le signe de la différence. C'est-à-dire que l'on va calculer \(f(x) - g(x)\). Ensuite, on va faire un tableau de signes. Si \(f(x) - g(x)\) est positif, cela veut dire que \(f(x)\) est au-dessus de \(g(x)\). Si \(f(x) - g(x)\) est négatif, cela veut dire que \(f(x)\) est en dessous de \(g(x)\). Prenons un exemple. Si on a \(f(x) = 3x^2 + 5x - 11\) et \(g(x) = x^2 + 3x - 7\), on calcule \(f(x) - g(x)\) en faisant attention aux signes. On obtient \(2x^2 + 2x - 4\).

Calcul du tableau de signes

Maintenant, ce qui va nous intéresser, c'est de dresser le tableau de signes de cette différence. Pour cela, il faut d'abord calculer les racines avec le discriminant, puis utiliser ces racines pour faire le tableau de signes. Le discriminant vaut \(b^2 - 4ac\). Dans notre cas, cela donne \(4^2 - 4 \times 2 \times -4 = 36\). Comme c'est un carré parfait, les racines sont faciles à calculer : \(x_1 = -2\) et \(x_2 = 1\). On peut maintenant faire le tableau de signes. On place les racines dans l'ordre et on utilise la règle qui dit que le polynôme est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines. Ici, le polynôme est positif à l'extérieur des racines et négatif à l'intérieur.

Conclusion

En regardant le tableau de signes, on peut répondre à la question de la position relative des fonctions. Par exemple, sur l'intervalle \(-\infty\) à \(-2\), \(f(x)\) est au-dessus de \(g(x)\) car \(f(x) - g(x)\) est positif. De même, sur l'intervalle \(-2\) à \(1\), \(f(x)\) est en dessous de \(g(x)\) car \(f(x) - g(x)\) est négatif. Cet exercice est une valeur sûre, vous êtes quasiment sûr de tomber dessus lors d'un contrôle. Un conseil : entraînez-vous !