10. Déterminer une limite par encadrement (théorème des gendarmes)

Introduction

Allons-y, les amis, nous allons lever des indéterminations sur des suites quand on a du \(1^n\), quand on a du \(\cos(n)\), quand on a du \(\sin(n)\) avec le théorème des gendarmes. Cette vidéo suit le théorème de comparaison parce que le théorème de comparaison et le théorème des gendarmes s'utilisent dans le même contexte.

Théorèmes de comparaison et des gendarmes

Les points de départ, quand vous avez du \((-1)^n\), quand vous avez du \(\cos(n)\), quand vous avez du \(\sin(n)\), du \(\sin(2n)\), du \(\cos(2n)\) et ainsi de suite, c'est toujours d'écrire que votre \(\cos(n)\), votre \((-1)^n\), il est compris entre -1 et 1. Ce qui va différer, c'est comment on va construire notre suite et quel théorème on va utiliser. Le théorème de comparaison dit que quand j'ai une suite \(u_n\) qui est plus grande qu'une suite \(v_n\) et que cette suite \(v_n\) tend vers plus l'infini, alors \(u_n\) n'a pas d'autre choix que de tendre lui-même vers plus l'infini. Le théorème des gendarmes dit que quand j'ai deux suites \(v_n\) et \(w_n\) qui tendent vers la même limite et que j'ai une suite \(u_n\) qui est bloquée entre les deux, forcément cette suite \(u_n\) va aussi tendre vers la limite en question.

Application du théorème des gendarmes

Prenons l'exemple de \((-1)^n\). Il est compris entre -1 et 1. Sauf que moi, je veux \(3n^2 + (-1)^n\). Donc la première étape, la première chose que je vais faire, c'est rajouter \(3n^2\) partout. Donc ça va me faire \(-1 + 3n^2 < (-1)^n + 3n^2 < 1 + 3n^2\). Ensuite, je veux \(3n^2 + (-1)^n\) divisé par \(3n^2 + 1\), donc je vais tout diviser par \(3n^2 + 1\). Donc je me retrouve avec \((-1 + 3n^2)/(3n^2 + 1) < (-1)^n + 3n^2/(3n^2 + 1) < (1 + 3n^2)/(3n^2 + 1)\). J'ai réussi à encadrer ma suite \(u_n\) par deux autres suites. Deuxième étape, je vais calculer la limite de ce que j'ai à gauche et la limite de ce que j'ai à droite. Ces limites valent 1. Du coup, on a bien notre suite qui est encadrée par deux suites \(v_n\) et \(w_n\) qui tendent vers 1. D'après le théorème des gendarmes, la limite de \((-1)^n + 3n^2/(3n^2 + 1)\) est 1.

Conclusion

Dès que vous avez un \((-1)^n\), un \(\cos(n)\) ou un \(\sin(n)\), vous commencez par l'encadrer entre -1 et 1. Ensuite, vous construisez petit à petit votre suite pour l'encadrer entre deux autres suites. Vous calculez les limites à droite et à gauche. Si cette limite est un nombre fini, vous appliquez le théorème des gendarmes. Si cette limite est un plus ou moins l'infini, vous appliquez le théorème de comparaison. Vous savez tout faire, à vous de jouer. Nous avons mis à votre disposition des exercices pour vous entraîner. Vous êtes les meilleurs, c'est parti !