2. Montrer qu'une fonction est une primitive

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir une technique extraordinairement rapide pour montrer qu'une fonction est une primitive d'une autre ou alors justifier qu'une fonction est une primitive d'une autre. On se fait ça tout de suite. Dans ce genre d'exercice, il y a deux manières : une manière de se prendre la tête pendant des heures et ne pas y arriver, et une manière extrêmement simple.

La méthode simple

Vous voulez montrer que \(F\) est une primitive de \(f\). Autrement dit, vous cherchez la primitive de \(f\). Donc, vous cherchez le machin qui, quand vous allez le dériver, va vous donner \(f(x)\). Donc, vous cherchez le machin qui, dérivé, me donne \(2x^2 - 3x\), exponentielle de \(x\) au carré moins \(1/x\). Si vous raisonnez comme ça, vous n'allez jamais y arriver. Plutôt que de partir de \(f(x)\) et de se demander si on arrive bien là grâce aux primitives, on va plutôt se demander si, en partant de \(F(x)\) (en partant de la primitive), on arrive bien à \(f(x)\) en dérivant. Et oui, n'oubliez pas que la dérivée et la primitive, c'est la même opération dans un sens ou dans un autre.

Application de la méthode

Donc, plutôt que de se demander si, quand je primitive \(f\), j'arrive à \(F\), on va se demander si, quand je dérive \(F\), j'arrive bien à \(f\). Et du coup, ce problème là devient un problème ultra simple parce que ce que je veux vérifier, c'est tout simplement que \(F'(x) = f(x)\). Pour dériver \(F\), j'ai juste à dériver ce truc là. Donc, je dérive \(e^{u_2x}\). Donc, \(e^{u_2x}\), je vous rappelle la formule qui s'affiche là, ça me fait \(u'e^{u_2x}\). Donc ici, mon \(u_2x\) il vaut \(x^2 - 3x + 2\). Donc ça, c'est \(u_2x\). Donc ma dérivée, ça va être la dérivée de \(x^2 - 3x + 2\), donc \(2x - 3\), multiplié par \(e^{u_2x}\), donc \(e^{x^2 - 3x + 2}\). Moi, la dérivée de \(\ln(u_2x)\), la dérivée de \(\ln(u)\) de \(x\), c'est \(u'/u\), donc \(4x'/4x\), donc \(4/4x\). Et là, je suis sympa, j'aurais pu faire en un coup, mais je vais \(4/4x\), hop, je simplifie. Je veux tout mettre au dénominateur, donc je mets tout ça sur \(x\) aussi en rajoutant un \(x\) devant. Et j'y suis presque, je veux arriver là, j'ai \(2x^2 - 3x\), \(2x - 3\), donc mon \(x\), et je vais le rentrer là-dedans, donc ça fait \(x(2x)\), donc \(2x^2 - 3x\), \(e^{x^2 - 3x + 2}/x - 1/x\). Et maintenant, vu que tout est au dénominateur, je peux tirer une seule grande barre, \(2x^2 - 3x\), \(e^{x^2 - 3x + 2}/x - 1/x\), et je retrouve bien \(2x^2 - 3x\), \(e^{x^2 - 3x + 2}/x - 1/x\), et c'est fait. Je suis parti de \(F\), je l'ai dérivé, et je suis arrivé à \(f\). Donc, \(f\) est bien une primitive de \(F\). En fait, dire \(F\) est une primitive de \(f\), c'est la même chose que dire, quand je dérive \(F\), je tombe sur \(f\). Autrement dit, \(f\) est la dérivée de \(F\). On vous a mis des exercices en dessous, en vrai, faites ces exercices, vous allez les oublier, on y reviendra plus tard. Dans nos compétences, entraînez-vous, c'est important, ça rentre dans la tête. À vous de jouer, vous êtes des champions.