9. IPP et exponentielle

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment régler définitivement le problème de l'intégration par partie avec notamment des fonctions qui intègrent de l'exponentielle. On se fait ça tout de suite.

L'intégration par partie

L'intégration par partie est un outil surpuissant pour être capable de calculer des intégrales quand le formulaire que vous avez appris par cœur dans le chapitre primitif ne suffit pas. On regarde une intégrale comme ça : vous savez que pour calculer une intégrale, ça nécessite de calculer la primitive de cette fonction et de l'appliquer en 1 puis en 0 et de faire la différence. Sauf que quand vous regardez votre formulaire de primitive, vous vous dites : ça, ça pue le prime exponentielle de \(U\). Oui, mais si ça c'est \(U'\) exponentielle de \(U\), ça voudrait dire que votre \(U\) ça devrait être \(X\) et le prix vont s'attend à ce que ça soit un pas \(X\). Là, c'est pas du tout \(U'\) exponentielle de \(U\), c'est éventuellement \(U\) exponentielle de \(U\), mais \(U\) exponentielle de \(U\), vous savez pas l'intégrer, c'est pas dans votre primitive, dans votre formulaire de primitive. Du coup, on va utiliser la formule d'intégration par partie. Cette formule, elle est un peu brutale, elle s'écrit comme ça : elle dit que l'intégrale entre \(A\) et \(B\) de \(U'V\) c'est une primitive de \(UV\) calculée entre \(A\) et \(B\) - l'intégrale de l'inverse, donc \(UV'\), entre \(A\) et \(B\).

Application de la formule

Pourquoi elle est cool, cette intégrale ? Elle vous dit : une intégration par partie, ça me permet de prendre la fonction qui m'embête, ici la fonction qui vous embête c'est \(X\). De qui est-ce que vous aimeriez bien vous débarrasser ? Vous aimeriez bien vous débarrasser du \(X\). Si on vire le \(X\), il reste plus que exponentielle de \(X\). Du coup, si j'ai une fonction qui m'embête, je peux faire un calcul où à la fin j'aurais à calculer une intégrale et cette fonction là, \(V\), elle sera dérivée. Autrement dit, j'ai la chance de pouvoir me débarrasser d'une fonction en la dérivant. De \(X\) ou de exponentielle de \(X\) en le dérivant, comment est-ce qu'on sait ça ? Moi, ce que je vous recommande, c'est toujours de vous dire : bon, finalement, celle qu'il faut bien reconnaître, c'est celle qu'on va dériver, parce que c'est celle dont on va se débarrasser, c'est celle qui ne sera plus là à la fin. Ici, de qui vous voulez vous débarrasser ? Ben, le problème, c'est que exponentielle de \(X\), si vous vous dites : je le dérive, on ira pas beaucoup plus loin, parce que je sais pas si vous le savez, mais la dérivée de exponentielle de \(X\), c'est juste exponentielle de \(X\). Donc, c'est pas la bonne idée de dire qu'on va se débarrasser d'exponentielle de \(X\), c'est plutôt une bonne idée de dire qu'on va se débarrasser de \(X\), parce que la dérivée de \(X\), si je la retrouve, c'est 1. Donc, vous voyez qu'on a transformé un truc problématique, \(X\), en un truc grave cool, 1. Donc, comment est-ce qu'on va faire ça ? Et ben, on va dire que cette fonction, c'est notre \(V\), que cette fonction, c'est notre \(U'\), et on va l'écrire. On va écrire \(V\) ici, c'est \(X\), \(U'\) c'est exponentielle de \(X\), et on va écrire du coup \(V'\) et \(U\). Voyez, on va écrire le couple qui manque. Du coup, si \(V\) c'est \(X\), \(V'\) c'est 1. Si \(U'\) c'est exponentielle de \(X\), \(U\) c'est exponentielle de \(X\), une primitive exponentielle de \(X\) c'est exponentielle de \(X\). Et on recopie la formule là, en adaptant. Du coup, l'intégrale entre 0 et 1 de \(X\) exponentielle de \(X\) dx, c'est et ben, crochet une fois \(V\), donc crochet \(X\) exponentielle de \(X\), \(X\) exponentielle de \(X\) calculé entre 1 et 0, moins l'intégrale entre \(A\) et \(B\) de \(UV'\), donc de exponentielle de \(X\) fois 1, donc 2 exponentielle de \(X\) - l'intégrale entre 0 et 1 de \(e\) de \(X\) dx. Et regardez comme on a bien bossé, on a transformé une intégrale à laquelle on arrivait pas du tout à faire de calcul en quelque chose qui est déjà une primitive. On n'a pas besoin de trouver plus de primitives, c'est une primitive, donc on a juste à la calculer en 1 et en 0. Du coup, ce bout là, il devient ben 1 exponentielle de 1 - 0 exponentielle de 0 et on a plus qu'à gérer notre l'intégrale entre 0 et 1 2e \(X\) dx. Oui, sauf que ça, on sait le calculer très facilement, et ça aussi. Un exponentielle de 1, ça me fait juste exponentiel de 1, 0 exponentielle de 0, ça me fait juste zéro. Moi, cette intégrale là, je sais la calculer très facilement, parce que une primitive de exponentielle de \(X\) c'est exponentielle de \(X\), donc j'ai juste à mettre mes crochets, exponentielle de \(X\) entre 0 et 1, et je finis mon calcul. Ça, ça reste exponentielle de 1. Moi, tac, j'ouvre un crochet, exponentielle de \(X\) calculé en 1, donc exponentielle de 1 - exponentielle de 0, et je finis en développant. Truc, exponentielle de 1 moins exponentielle, ça se barre, moins moins exponentielle de 0, ça fait exponentielle de 0 et ça m'a fait tout simplement 1. Donc, retenez que finalement, la difficulté là-dedans, c'est se demander qui est-ce que je dois garder. Est-ce que je garde \(U'\) ou est-ce que je garde \(U\) ? Qui est-ce qui est \(V\) ? Qui est-ce qui est \(U'\) ? On prendra toujours la fonction la plus embêtante comme étant \(V\), c'est-à-dire la fonction qu'on va dériver à la fin, parce que en fait, une IP, c'est juste dire : j'ai forcément une fonction embêtante et une fonction simple. La fonction embêtante, je la dérive, la fonction simple, je la primitive. On vous a mis pas mal d'exercices en dessous, entraînez-vous, ça, pour le coup, ça tombe au contrôle. Et ensuite, on continue avec sinus, cosinus et tous les cas d'intégration par partie qu'on peut trouver. À vous de jouer, vous êtes des champions.