Contrôle Corrigé de Mathématiques sur le Calcul Intégral - Niveau Terminale Spécialité

Ce sujet de mathématiques de niveau Terminale spécialité est une évaluation complète de 2 heures sur le chapitre du calcul intégral. Il s'adresse aux élèves souhaitant s'entraîner et valider leurs connaissances sur les primitives, l'intégration par parties (IPP), la valeur moyenne d'une fonction, l'étude de suites définies par une intégrale, et le calcul d'aires. Ce contrôle corrigé est un excellent outil de révision pour le baccalauréat.

Exercice 1 : Calcul de Primitives et Valeur Moyenne (2 points)

Cet exercice est une mise en application directe des techniques de base du calcul intégral.

• La première question demande de calculer l'intégrale $$I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{3x+1}} dx$$. Pour y parvenir, il faut reconnaître une fonction de la forme \(u'(x)u(x)^n\), où \(u(x) = 3x+1\) et \(n = -1/2\). La recherche d'une primitive de fonctions puissances est donc la compétence clé ici. Une fois la primitive trouvée, il suffit d'évaluer sa valeur aux bornes de l'intervalle.
• La seconde question consiste à calculer la valeur moyenne de la fonction \(f(x) = \cos(3x)\) sur l'intervalle \([0; \frac{\pi}{2}]\). Cela nécessite de connaître et d'appliquer la formule de la valeur moyenne : $$\mu = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$$. La principale étape est de déterminer une primitive de \(\cos(3x)\), ce qui fait appel aux primitives des fonctions trigonométriques.

Exercice 2 : Étude d'une suite d'intégrales (8 points)

Cet exercice, plus théorique, porte sur l'étude approfondie d'une suite \((I_n)\) définie par une intégrale : $$I_n = \int_{0}^{1} \frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}} dx$$. Ce type de problème est classique et permet de tester la rigueur et la capacité de raisonnement des élèves.

• La première partie guide l'élève pour calculer les premiers termes \(I_0\) et \(I_1\). Il faut d'abord montrer que \(I_0 + I_1 = 1\) en utilisant la linéarité de l'intégrale, puis calculer \(I_1\) en reconnaissant une primitive de la forme \(\frac{u'}{u}\), et enfin en déduire \(I_0\).
• Ensuite, on demande de démontrer que la suite est positive (\(I_n \ge 0\)) en utilisant la propriété de positivité de l'intégrale, car l'intégrande est une fonction positive sur \([0, 1]\).
• La question centrale est d'établir une relation de récurrence entre \(I_{n+1}\) et \(I_n\). Il faut prouver que $$I_{n+1} + I_n = \frac{1-e^{-n}}{n}$$. Cette démonstration passe par le calcul de l'intégrale de \(e^{-nx}\).
• À partir de cette relation et de la positivité de \(I_{n+1}\), il faut en déduire une inégalité, à savoir que \(I_n \le \frac{1-e^{-n}}{n}\). C'est une application directe de la compétence "démontrer une inégalité avec des intégrales".
• Finalement, l'objectif est de trouver la limite de la suite \((I_n)\). L'encadrement \(0 \le I_n \le \frac{1-e^{-n}}{n}\) permet d'appliquer le théorème des gendarmes pour conclure que la limite est 0.

Exercice 3 : Étude de fonction et Calcul d'Aire (10 points)

Ce dernier exercice est un problème complet d'analyse, combinant l'étude d'une fonction exponentielle et le calcul d'aire, une application fondamentale du calcul intégral.

• 1. Étude de la fonction \(f(x) = (x+2)e^{-x}\) : Cette première partie est une étude de fonction classique. Il faut déterminer les points d'intersection avec les axes, étudier les limites en \(+\infty\) et \(-\infty\) (en utilisant notamment la croissance comparée), en déduire les asymptotes, puis calculer la dérivée \(f'(x)\) (dérivée d'un produit) pour établir le tableau de variations complet de \(f\).
• 2. Calcul d'une valeur approchée de l'aire : Cette partie introduit la méthode des rectangles pour approcher l'aire sous la courbe entre \(x=0\) et \(x=1\). Un script Python est fourni pour calculer la somme des aires de 4 rectangles. L'élève doit comprendre le principe et l'adapter pour un nombre \(N\) quelconque de rectangles, montrant ainsi sa compréhension du lien entre l'intégrale et la somme de Riemann.
• 3. Calcul de la valeur exacte de l'aire : Pour conclure, il est demandé de calculer la valeur exacte de l'aire \(A = \int_0^1 (x+2)e^{-x} dx\). Cette question est une application directe de la technique d'intégration par parties (IPP), indispensable pour intégrer un produit d'une fonction polynomiale par une fonction exponentielle.