Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir un cas qui revient beaucoup dans les exercices compliqués de terminale : comment démontrer des inégalités où vous avez une intégrale à l'intérieur. On se fait ça tout de suite. Ces exercices là, c'est notamment des exercices qui reviennent beaucoup avec des suites.
Présentation de l'exercice
On va vous présenter une suite \(u_n\) qui vaudra par exemple l'intégrale entre 0 et 1 de \(x^n e^x dx\) et on va vous demander de démontrer une inégalité avec \(u_n\). Comment on fait ça ? Et bien, le problème des démonstrations, c'est que vous savez qu'à la fin vous devrez arriver à ça. Donc à la fin, je voudrais avoir \(0 \leq \int_0^1 x^n e^x dx < e - 1\). Je sais que je vais raisonner par équivalence, donc je vais avoir une ligne là, une ligne là, une ligne là. Vu que c'est un exercice compliqué, je vais probablement devoir me reprendre à plein de fois, mais ça n'empêche que vous n'avez pas l'élément de départ. De quoi est-ce qu'on va démarrer ? On démarrera toujours de l'espace où se situe \(x\). Autrement dit, cette intégrale là, ce qu'elle vous donne comme information, c'est que l'élément \(x\) qui est là, qu'on reconnaît là et qu'on reconnaît là, il se balade entre 0 et 1. Donc mon point de départ, ça va être tout simplement de dire que \(x\) est compris entre 0 par la gauche et 1 par la droite. Et à partir de là, avec des équivalences et comme un peu dans une récurrence, on va essayer de redémontrer cette inégalité.
Démonstration de l'inégalité
Donc, je commence par dire : bon, à la fin, je vais avoir \(x^n\). J'ai mis \(x^x\), bien sûr, en fait je voulais dire \(x^n\). Donc la première chose que je vais faire, c'est que je vais prendre cette inégalité et je vais la composer par la puissance, c'est à dire que je vais tout mettre à la puissance \(n\) : \(0^n\), \(x^n\) et \(1^n\). Oui, bon, sauf que \(1^n\) ça fera toujours 1 et \(0^n\) ça fera toujours 0. La seule question qu'on va se poser, c'est est-ce que mon signe a changé ? Vous savez que la règle qui permet de savoir si je change ou pas le signe, c'est est-ce que j'ai composé par une fonction qui est croissante ou pas. La fonction que j'ai utilisé là, c'est la fonction qui prend un nombre \(x\) et qui le transforme en \(x^n\). À la prise 0, elle a transformé en \(0^n\), elle a pris 1, elle a transformé en \(1^n\), elle a pris \(x\), elle a transformé en \(x^n\). Cette fonction là, \(x^n\), pour des valeurs positives de \(x\) (ce qui est le cas des \(x\) compris entre 0 et 1), elle est croissante. Vu que la fonction est croissante, j'ai pas besoin de changer mon signe.
Je continue, je prends mon égalité, j'ai mon \(x^n\), je vais tout multiplier par \(e^x\). Je multiplie par \(e^x\), \(e^x\) est positif, quand je multiplie par \(e^x\), j'ai donc pas besoin de changer l'égalité. Donc je me retrouve avec \(0 \times e^x < x^n e^x < 1 \times e^x\). \(0 \times e^x\) ça me fait 0, donc j'ai \(0 < x^n e^x < e^x\).
Et je continue, je veux maintenant que j'ai ça, l'intégrer. Donc le trouver l'intégrale entre 0 et 1 de cette fonction \(dx\). Donc je vais intégrer ces trois fonctions, celle là, celle là et celle-là, en fonction de \(x\) et entre 0 et 1. Donc je vais calculer l'intégrale entre 0 et 1 de \(0 dx\), cette intégrale elle sera nécessairement plus petite que l'intégrale entre 0 et 1 de \(x^n e^x dx\) qui elle-même sera plus petite que l'intégrale entre 0 et 1 de \(e^x dx\). Pourquoi ? Parce que je vous rappelle que quand vous avez trois fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) qui sont classées, et bien les intégrales de \(f\), de \(g\) et de \(h\) sur les mêmes bornes, 0 et 1, sont dans le même ordre.
Et je peux conclure en disant que l'intégrale entre 0 et 1 de \(0\) ça fait tout simplement 0. Ici j'ai ce que je voulais, c'est à dire l'intégrale entre 0 et 1 de \(x^n e^x dx\) et j'ai plus qu'à calculer l'intégrale entre 0 et 1 de \(e^x dx\). Sauf que cette intégrale, elle vaut une primitive de \(e^x\), c'est-à-dire \(e^x\) calculé entre 0 et 1. Et je conclus \(0 < \int_0^1 x^n e^x dx < e^1 - e^0\). Et \(e^0\), vous l'aurez compris, c'est rien d'autre que 1. Et j'ai bien ce que je voulais démontrer.
Le point de départ, c'est toujours \(x\) compris entre 0 et 1. À partir de là, on réfléchit. Ça marche avec des exponentielles, ça marche avec des sinus, ça marche avec plein d'exemples que vous pouvez avoir au contrôle et qu'on a listé juste en dessous. À vous de jouer, vous êtes des champions.