Découvrez un sujet complet de contrôle sur le calcul intégral, spécialement conçu pour les élèves de Terminale avec la spécialité Mathématiques. Cette évaluation d'une heure, accompagnée de son corrigé détaillé, couvre les aspects fondamentaux du chapitre sur les intégrales, des techniques de base aux applications plus complexes. C'est un outil parfait pour s'entraîner, réviser et valider ses compétences avant un examen. Le sujet est structuré en trois exercices progressifs, balayant le calcul de primitives, l'intégration par parties, le calcul d'aires et l'étude de suites définies par une intégrale.

Exercice 1 : Techniques fondamentales de calcul d'intégrales (10 points)

Cet exercice teste la maîtrise des outils essentiels du calcul intégral à travers quatre questions indépendantes.

• Question 1 : Calcul de la valeur moyenne d'une fonction polynomiale $f(x) = 9x^2 + 4x$ sur l'intervalle $[2; 5]$. Il s'agit d'appliquer directement la formule $M = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \,dx$, ce qui nécessite de trouver une primitive de $f$.
• Question 2 : Calcul de la valeur exacte de trois intégrales distinctes, chacune faisant appel à une technique de primitivation spécifique :
  • $I = \int_{-1}^2 x e^{x^2-3} \,dx$ : reconnaissance d'une forme $u'(x)e^{u(x)}$.
  • $J = \int_1^2 \frac{x}{x^2+1} \,dx$ : reconnaissance d'une forme $\frac{1}{2} \frac{u'(x)}{u(x)}$.
  • $K = \int_0^{\pi/4} (\sin(2x) - 1) \,dx$ : primitivation de fonctions trigonométriques et constantes.
• Question 3 : Détermination du meilleur encadrement possible de l'intégrale $S = \int_{-5}^3 g(x) \,dx$ à l'aide du tableau de variations de la fonction $g$. Cet exercice met en jeu la propriété de positivité et de croissance de l'intégrale.
• Question 4 : Utilisation de l'intégration par parties (IPP) pour calculer l'intégrale $L = \int_{-1}^1 (t+3)e^{2t} \,dt$. Un classique qui combine une fonction affine et une fonction exponentielle.

Exercice 2 : Application géométrique du calcul intégral (4 points)

Cet exercice se concentre sur l'une des applications les plus importantes de l'intégration : le calcul d'aire. On demande de déterminer l'aire du domaine délimité par les courbes représentatives des fonctions $f(x) = x^2 - 2$ (une parabole) et $g(x) = x$ (une droite).

La résolution exige une démarche structurée :

1. Étudier la position relative des deux courbes en analysant le signe de la différence $g(x) - f(x)$.
2. Calculer les coordonnées des points d'intersection pour déterminer les bornes de l'intégrale.
3. Poser et calculer l'intégrale $\int_a^b (g(x) - f(x)) \,dx$ pour trouver l'aire recherchée.

Exercice 3 : Problème de synthèse sur une suite d'intégrales (6 points)

Ce dernier exercice, plus théorique, propose d'étudier une suite $(I_n)$ définie par une intégrale : $I_n = \int_0^1 \frac{e^{nt}}{1 + e^t} \,dt$ pour tout entier naturel $n$. Ce type de problème est un classique du baccalauréat et permet de lier les chapitres sur les suites et les intégrales.

• Calcul des premiers termes : Il faut calculer $I_1$ puis, via une astuce de calcul sur $I_0 + I_1$, en déduire la valeur de $I_0$.
• Relation de récurrence : Démontrer une relation liant deux termes consécutifs, $I_n + I_{n+1} = \frac{e^n - 1}{n}$, une étape clé pour calculer les termes de la suite de proche en proche.
• Calcul d'un terme spécifique : Appliquer la relation précédente pour trouver la valeur exacte de $I_2$.
• Sens de variation : Pour conclure, il est demandé de déterminer le sens de variation de la suite $(I_n)$ en étudiant le signe de la différence $I_{n+1} - I_n$. Cela revient à étudier le signe d'une intégrale dont l'intégrande est de signe constant sur l'intervalle d'intégration.

Ce sujet de mathématiques pour la Terminale est donc un excellent support pour s'assurer d'avoir bien compris toutes les facettes du calcul intégral.