Introduction
Aujourd'hui, nous allons voir la dernière technique qui vous manque pour connaître toutes les méthodes pour étudier les variations de suite. C'est la méthode dite de l'étude de fonction. Pour qu'on ait une étude de fonction sur une suite, il faut impérativement que votre suite soit définie de manière explicite.
Pour rappel, une suite est définie de manière récurrente quand on a \(u_{n+1}\) qui vaut par exemple trois fois \(u_n\), autrement dit le terme suivant en fonction du terme précédent. Et on a une suite qui est définie de manière explicite par exemple \(u_n = 3n\), quand le terme est une fonction directe de \(n\).
Étude de fonction
Une fois que vous avez trouvé ça, tout l'enjeu ça va être de se dire : mais quelle est la fonction telle que \(u_n\) soit égal à \(f(n)\) ? Parce que si j'arrive à trouver cette fonction \(f\), au lieu d'étudier les variations de la suite, je peux me contenter d'étudier les variations de la fonction en question.
Donc première étape, qu'est-ce que c'est que cette fonction ? C'est une fonction \(f(n)\) qui transforme \(n\) en \(n^2 - 7n + 49\). Donc ma fonction \(f\) pour ça, pour être \(f(x)\), je prends mon \(n\) et je le transforme avec \(f\) et ça devient \(x^2 - 7x + 49\).
Car si je prends cette expression là maintenant et que je remplace \(x\) par \(n\), je me retrouve bien avec \(n^2 - 7n + 49\). Donc j'ai bien trouvé la fonction \(f\) telle que \(u_n\) soit égal à \(f(n)\).
Étude des variations de la fonction
Maintenant que j'ai trouvé cette fonction, c'est vraiment ça la partie la plus dure du travail. Une fois que ça c'est fait, vous avez quasiment terminé. Donc on va étudier cette fonction, et à partir des variations de cette fonction, on pourra statuer sur les variations de la suite qui est ici.
Pour étudier les variations d'un polynôme du second degré, on commence par calculer \(\alpha\) qui vaut \(-b/2a\). Donc ici \(-(-7)/2 = 7/2\). Ensuite, on calcule \(\beta\) qui vaut \(f(\alpha)\). Donc \(f(7/2)\) et vu que \(f(x) = x^2 - 7x + 49\), ça me fait \((7/2)^2 - 7*(7/2) + 49\).
On calcule donc ça nous fait \((7/2)^2 = 49/4\), donc \(49/4 + 49/4 = 98/4 = 24.5\). J'ai donc \(\alpha\) et j'ai donc \(\beta\). Je peux faire le tableau de variation de ma fonction \(f\) en disant que quand \(x\) va de moins l'infini jusqu'à plus l'infini, la fonction \(f(x)\) est croissante puis décroissante.
Étude des variations de la suite
Sauf que nous ce qui nous intéresse, c'est les variations de la suite. Et donc vous allez devoir faire deux opérations de sauvetage. Le premier, n'oubliez jamais que quand vous dites \(u_n = n^2 - 7n + 49\), les seules valeurs possibles de \(n\) que vous pouvez mettre là-dedans, c'est les valeurs de \(n\) positives ou nulles.
C'est à dire que votre tableau en réalité commence à zéro. Donc \(u_n\) entre 0 et \(7/2\) va être décroissante et entre \(7/2\) et plus infinie, elle va être croissante. Sauf que \(7/2\) ça fait 3.5 et vous savez qu'une suite est définie pour des valeurs de \(n\) qui sont positives, c'est une chose, mais surtout entières. Or, est-ce que 3.5 c'est une valeur entière ? Non.
Donc de la même manière que vous avez dû faire une étude quand vous faisiez \(u_{n+1}/u_n\) et que vous tombiez sur un chiffre qui n'était pas pile, vous allez être obligé de calculer ce qui se passe à 3 et ce qui se passe à 4 pour savoir lequel est le plus grand.
Donc moi je vais me calculer \(u_3\) et \(u_4\). \(u_3\) ça fait \(3^2 - 7*3 + 49 = 9 - 21 + 49 = -12 + 49 = 37\). Et \(u_4\) ça fait \(4^2 - 7*4 + 49 = 16 - 28 + 49 = -12 + 49 = 37\).
On s'aperçoit que \(u_3\) et \(u_4\) ont la même valeur, autrement dit 37. Donc comment est-ce qu'on va conclure là-dessus ? Très bien, notre suite \(u_n\) elle est décroissante au moins jusqu'à 3. Entre 3 et 4, elle est stable donc elle est constante. Et de 4 à plus infinie, elle est croissante.
Cette étude de part et d'autre d'une valeur de \(n\) qui n'est pas entière, il faut que vous le fassiez chaque fois que vous arrivez sur un nombre qui n'est pas entier. Chaque fois que vous arrivez sur un entier, vous vous dites : "Quelle est la valeur avant, quelle est la valeur après ?". C'est des exercices qui sont techniques, à plein de moyens de se planter. Faites des exercices, on en a mis en dessous, à vous de jouer.