Obtenez une analyse détaillée et un corrigé de ce contrôle de mathématiques de niveau Première, spécialité maths, centré sur le chapitre des probabilités conditionnelles. Ce sujet d'évaluation, d'une durée d'une heure, est un excellent outil de révision pour maîtriser les concepts clés tels que les arbres pondérés, les tableaux de contingence, la formule des probabilités totales et l'indépendance d'événements.

Exercice 1 : Analyse d'un tableau de probabilités

Cet exercice d'introduction évalue la capacité à lire et interpréter un tableau de contingence (ou tableau à double entrée) contenant des probabilités. Les questions testent les compétences fondamentales suivantes :

• Calcul de probabilités marginales : Il est demandé de calculer $P(B)$ et $P(A)$, ce qui implique de sommer les probabilités des intersections correspondantes. Par exemple, pour trouver $P(B)$, il faut compléter le tableau et calculer $P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$.
• Lecture de probabilités d'intersection : Une question porte sur la lecture directe d'une probabilité d'intersection, ici $P(\bar{A} \cap B)$.
• Calcul d'une probabilité conditionnelle : La dernière question demande de calculer $P_A(B)$, la probabilité de l'événement $B$ sachant que l'événement $A$ est réalisé. Cela nécessite l'application de la formule de base des probabilités conditionnelles : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.

Exercice 2 : Application des formules fondamentales

Cet exercice se compose de deux questions indépendantes visant à vérifier la maîtrise des formules de base des probabilités.

1. La première partie est un exercice de calcul. À partir des probabilités de l'événement contraire $P(\bar{A})$, de $P(B)$ et de la probabilité de l'union $P(A \cup B)$, il faut retrouver la probabilité de l'intersection $P(A \cap B)$ en utilisant la formule : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Une fois cette valeur trouvée, le calcul de la probabilité conditionnelle $P_A(B)$ devient direct.
2. La seconde partie est une démonstration théorique simple mais essentielle. Il s'agit de prouver que $P_B(A) + P_B(\bar{A}) = 1$. Cette propriété illustre que, sachant un événement $B$, la somme des probabilités de $A$ et de son contraire $\bar{A}$ vaut toujours 1, ce qui est une base de la loi des probabilités totales.

Exercice 3 : Problème concret avec arbre pondéré

Ce dernier exercice est un problème complet qui met en scène un concessionnaire automobile. Il permet de mobiliser l'ensemble des compétences du chapitre dans une situation concrète.

• Traduction d'un énoncé : La première étape consiste à extraire les données pertinentes du texte pour les traduire en langage probabiliste, comme $P(N) = 0.2$ et $P_N(A) = 0.3$.
• Construction d'un arbre pondéré : Il est explicitement demandé de construire et de compléter un arbre de probabilités qui modélise la situation. C'est une compétence centrale du chapitre.
• Utilisation de l'arbre : L'arbre permet de calculer facilement la probabilité d'une intersection, comme celle d'acheter une voiture neuve de marque B, $P(N \cap B)$, en multipliant les probabilités le long de la branche correspondante.
• Formule des probabilités totales : Le sujet guide l'élève pour utiliser la formule des probabilités totales. En donnant $P(B)$, on demande de retrouver $P(O \cap B)$ en utilisant la relation $P(B) = P(N \cap B) + P(O \cap B)$.
• Inversion de l'arbre (Formule de Bayes) : Une question clé est le calcul de $P_O(B)$, c'est-à-dire la probabilité que la voiture soit de marque B sachant qu'elle est d'occasion. Cela correspond à une inversion du conditionnement initial et constitue une application directe de la définition des probabilités conditionnelles.
• Indépendance d'événements : La question finale demande de déterminer si les événements "acheter une voiture d'occasion" (O) et "acheter une voiture de marque B" (B) sont indépendants. Pour cela, il faut comparer la valeur de $P(O \cap B)$ au produit $P(O) \times P(B)$.

Ce sujet de contrôle corrigé est parfait pour s'entraîner et valider sa compréhension des probabilités conditionnelles en Première.