Découvrez l'analyse et la correction détaillée de ce sujet de devoir commun de mathématiques pour le niveau Terminale technologique. Ce contrôle, d'une durée de 2 heures, évalue des compétences clés sur les chapitres des automatismes, des suites numériques arithmétiques et géométriques, et de la fonction exponentielle. Ce corrigé est idéal pour les élèves souhaitant s'entraîner et comprendre les attendus de l'épreuve.

Partie 1 : Automatismes (4 points)

Cette première partie est un questionnaire rapide visant à évaluer la maîtrise des savoir-faire de base, sans justification demandée.

• Question 1 : Calcul d'un taux d'évolution en pourcentage. Pour un prix passant de 8 € à 9,20 €, on utilise la formule \( \frac{V_{arrivée} - V_{départ}}{V_{départ}} \times 100 \).
• Question 2 : Application de pourcentages d'évolution successifs. Une baisse de 20% (CM = 0,8) suivie d'une hausse de 10% (CM = 1,1) donne un coefficient multiplicateur global de \( 0,8 \times 1,1 = 0,88 \), soit une baisse globale de 12%.
• Question 3 : Calcul d'un indice. Si un panier passe de 50 € (indice 100) à 57 €, le nouvel indice est calculé par proportionnalité : \( \frac{57}{50} \times 100 = 114 \).
• Question 4 : Écriture scientifique du nombre 0,00042, qui est \( 4,2 \times 10^{-4} \).
• Question 5 : Simplification de puissances. En utilisant la règle \( a^n \times a^m = a^{n+m} \), l'expression \( 3^x \times 3^{2x} \) se simplifie en \( 3^{3x} \).
• Question 6 : Dérivation d'une fonction polynôme. Pour \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 5 \), la fonction dérivée est \( f'(x) = 3x^2 - 12x \).
• Question 7 : Détermination du coefficient directeur d'une tangente. Pour \( g(x) = 2x^2 - x \), le coefficient directeur au point d'abscisse 1 est le nombre dérivé \( g'(1) \). On a \( g'(x) = 4x - 1 \), donc \( g'(1) = 3 \).
• Question 8 : Somme des premiers termes d'une suite géométrique. Pour une suite de premier terme \( u(0)=5 \) et de raison 2, on calcule \( u(0)+u(1)+u(2)+u(3) = 5 + 10 + 20 + 40 = 75 \).

Partie 2 : Exercices d'application (16 points)

Exercice 1 : L'agrandissement d'une librairie (8 points)

Cet exercice est un problème concret de mathématiques financières modélisé à l'aide de suites numériques.

• Question 1 : On demande de calculer le taux d'évolution annuel moyen du coût des travaux entre 2020 (28 400 €) et 2026 (32 000 €). Cela revient à résoudre l'équation \( 32000 = 28400 \times (1+t)^6 \).
• Question 2 : Le coût des travaux est modélisé par une suite géométrique \( (c_n) \) à partir de 2026, avec une augmentation annuelle de 2%. Il faut donc identifier la nature de la suite (géométrique de raison \( q = 1,02 \)), donner son expression explicite \( c_n = c_0 \times q^n \), et l'utiliser pour calculer le coût en 2031 (soit \( c_5 \)).
• Question 3 : On analyse le capital placé par la gérante. Chaque versement de 6000 € produit des intérêts. La somme totale \( V \) en 2031 est la somme des valeurs acquises de chaque versement. C'est un exercice classique de calcul de la somme des termes d'une suite géométrique.
• Question 4 & 5 : Ces questions testent la capacité à comparer les résultats obtenus (le capital \( V \) et le coût des travaux \( c_5 \)) pour prendre une décision, et à résoudre le problème inverse pour trouver le montant du versement nécessaire pour atteindre un objectif.

Exercice 2 : La caféine d'un café (5 points)

Cet exercice porte sur l'étude d'une fonction exponentielle modélisant la diminution de la caféine dans le sang, définie par \( f(t) = 90 \times 0,87^t \).

• Question 1 : Il s'agit de déterminer le sens de variation de la fonction \( f \). Comme la base \( 0,87 \) est comprise entre 0 et 1, la fonction est strictement décroissante sur son domaine de définition.
• Question 2 : On effectue des calculs d'images et on vérifie une propriété de la moyenne géométrique, qui est une caractéristique des suites géométriques (et donc des fonctions exponentielles pour des valeurs entières de la variable).
• Question 3 : La propriété \( f(t+5) = 0,87^5 \times f(t) \) est explorée, montrant que toutes les 5 heures, la quantité de caféine est multipliée par un facteur constant (environ 0,5), ce qui correspond à la notion de demi-vie.
• Question 4 : Une résolution graphique de l'inéquation \( f(t) < 20 \) est demandée, ce qui implique de repérer le point d'intersection de la courbe avec la droite d'équation \( y = 20 \).
• Question 5 : Une question d'application pour calculer la caféine restante à une heure précise et interpréter le résultat dans le contexte.

Exercice 3 : Puissances et moyennes (vrai ou faux) (3 points)

Ce dernier exercice évalue la maîtrise de règles de calcul fondamentales sur les puissances et les suites.

• Questions 1 et 2 : Testent les règles de calcul sur les puissances, comme \( a^{x+1} = a \times a^x \) et non \( a^x + ... \), et \( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \).
• Question 3 : Concerne la définition de la moyenne géométrique de deux nombres \(a\) et \(b\), qui est \( \sqrt{a \times b} \).
• Question 4 : Il faut vérifier une égalité portant sur la somme des 21 premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme \( v(0)=2 \) et de raison 3. On utilise la formule \( S_{20} = (20+1) \frac{v(0)+v(20)}{2} \).