Analyse du Contrôle de Maths sur la Fonction Exponentielle (Terminale Technologique)

Ce sujet de mathématiques pour la Terminale technologique est une évaluation complète sur le chapitre de la fonction exponentielle. Conçu pour être traité sans calculatrice, il met l'accent sur la maîtrise des propriétés algébriques des puissances, la résolution de problèmes concrets liés aux évolutions en pourcentage, et l'étude des fonctions exponentielles de base \(f(x) = q^x\). Ce contrôle corrigé est un excellent entraînement pour le baccalauréat.

Exercice 1 : Puissances, signes et hausses

Cet exercice d'introduction teste rapidement des compétences variées, servant de prérequis et de vérification des bases du chapitre.

• Question 1 : Factorisation de \(x^2 - \frac{4}{9}\) en utilisant l'identité remarquable \(a^2 - b^2\).
• Question 2 : Résolution de l'inéquation du second degré \(-2(x - 1)(x - 3) > 0\) qui requiert la construction d'un tableau de signes.
• Question 3 : Application des pourcentages avec le calcul du taux d'évolution global après deux augmentations successives de 10%.
• Question 4 : Manipulation des exposants négatifs pour donner l'écriture décimale de \(2^{-3}\).
• Question 5 : Étude du sens de variation de la fonction \(x \mapsto -4 \times 0.6^x\). La compétence testée est la compréhension de l'effet de la base \(q\) (ici \(0 < 0.6 < 1\)) et du coefficient multiplicateur négatif sur la monotonie de la fonction.
• Question 6 : Simplification d'expressions exponentielles, comme \(\frac{3^{x+2}}{3^x}\), en utilisant les règles de calcul sur les puissances.

Exercice 2 : Le prix du cacao d'une chocolaterie

Ce problème de modélisation est le cœur du sujet. Il demande de mobiliser les connaissances sur les fonctions exponentielles pour analyser une situation économique concrète à l'aide de plusieurs documents.

• Question 1 : Calcul d'un taux d'évolution sur plusieurs années et détermination du taux annuel moyen, en évitant le piège de la moyenne arithmétique.
• Question 2 : Validation d'un modèle exponentiel \(p(x) = 10 \times 1.1^x\) et utilisation du sens de variation de la fonction pour justifier un encadrement.
• Question 3 : Relation entre taux d'évolution sur des périodes différentes, en exprimant un taux mensuel en fonction d'un taux annuel, ce qui mène à l'utilisation des exposants rationnels.
• Question 4 : Interprétation graphique de trois scénarios d'évolution. Il s'agit d'associer des courbes à des modèles exponentiels en se basant sur leur croissance ou décroissance (liée à la base \(q > 1\) ou \(0 < q < 1\)).
• Question 5 : Application du modèle pour faire des prévisions de prix et calculer l'impact financier pour l'entreprise.

Exercice 3 : Puissances à exposant réel

Le dernier exercice est purement technique et vise à vérifier la maîtrise calculatoire des propriétés des puissances et des exponentielles.

• Question 1 : Réécriture d'expressions sous la forme d'une seule puissance \(a^n\) en appliquant les règles de calcul (produits, quotients de puissances).
• Question 2 : Calcul mental de puissances avec des exposants non entiers, comme \(16^{0.5}\) ou \(4^{1.5}\), qui sont des applications directes des racines carrées.
• Question 3 : Résolution d'équations exponentielles simples telles que \(2^x = 32\) ou \(3^{2x-1} = 27\), en se ramenant à une même base.
• Question 4 : Comparaison de nombres en utilisant le sens de variation des fonctions exponentielles, une compétence clé pour raisonner sans calculatrice.

En résumé, ce sujet de maths est un excellent outil pour réviser la fonction exponentielle, les pourcentages et les compétences de base en algèbre, indispensables pour la Terminale technologique.