Ce contrôle de mathématiques de niveau Terminale technologique est centré sur le chapitre de la fonction logarithme, plus précisément le logarithme décimal noté 'log'. D'une durée d'une heure, ce sujet avec corrigé permet de balayer les compétences essentielles relatives à ce chapitre, allant des propriétés fondamentales à la résolution de problèmes concrets. C'est un excellent support pour les élèves des filières STMG, STI2D, STL et STD2A qui souhaitent s'entraîner et réviser.

Ce sujet de maths est conçu pour évaluer la maîtrise des calculs, des propriétés algébriques du logarithme, ainsi que la capacité à résoudre des équations et inéquations qui en découlent, notamment dans le cadre de modélisations.

Exercice 1 - Log, croissance et propriétés (vrai ou faux)

Cet exercice d'introduction est un Vrai/Faux qui teste les connaissances fondamentales sur la fonction logarithme décimal. Chaque affirmation doit être justifiée pour obtenir les points, ce qui pousse l'élève à une réflexion précise.

• Question 1 : Il s'agit d'encadrer la valeur de \(log(500)\). Pour y répondre, il faut mobiliser sa connaissance de la croissance de la fonction logarithme et connaître les valeurs de référence comme \(log(10^2) = 2\) et \(log(10^3) = 3\).
• Question 2 : L'affirmation \(log(x^2) = (log(x))^2\) est testée. C'est un piège classique qui évalue la maîtrise des propriétés algébriques, la bonne formule étant \(log(x^2) = 2log(x)\).
• Question 3 : On demande si l'équation \(10^x = -3\) possède une solution. Cela interroge la relation entre la fonction exponentielle et la fonction logarithme, et plus particulièrement l'ensemble image de la fonction exponentielle, qui est \(]0; +\infty[\).
• Question 4 : Cette question porte sur l'inégalité \(log(\frac{1}{a}) > log(\frac{1}{b})\) pour des réels \(a\) et \(b\) tels que \(0 < a < b\). Elle nécessite de comprendre l'effet de la fonction inverse sur l'ordre, puis d'appliquer la croissance de la fonction logarithme.

Exercice 2 - La salle des percussions (problème)

Ce second exercice est un problème complet et concret, basé sur deux documents. Il met en application la fonction logarithme dans le domaine de l'acoustique pour mesurer le niveau sonore en décibels (dB). C'est un cas d'usage typique de l'échelle logarithmique.

• Question 1 : À partir de la formule fournie \(L = 10 log(\frac{I}{I_0})\), il faut déterminer l'intensité acoustique \(I\). Cela revient à résoudre une équation où l'inconnue est à l'intérieur du logarithme.
• Question 2 : Cette question demande de modéliser le niveau sonore produit par \(n\) instruments identiques. En utilisant le fait que les intensités s'ajoutent et les propriétés du logarithme (\(log(a \times b) = log(a) + log(b)\)), on doit établir la formule \(L_n = 90 + 10 log(n)\).
• Question 3 : Il s'agit de calculer une durée maximale d'exposition à l'aide d'une fonction exponentielle \(D(L) = 8 \times 0,5^{(L-85)/3}\) et de vérifier la conformité d'une répétition. C'est une application directe de calculs numériques.
• Question 4 : La question clé de l'exercice : résoudre l'inéquation \(8 \times 0,5^{(L-85)/3} \ge 2,5\). Cette résolution d'inéquation exponentielle se fait en utilisant la fonction logarithme pour "faire descendre" l'inconnue de l'exposant.
• Question 5 : Une question de synthèse qui demande de combiner toutes les informations (nombre de musiciens, niveau sonore, protection auditive) pour évaluer si une situation est conforme aux normes de prévention.

Exercice 3 - Écritures et équations avec le logarithme

Cet dernier exercice se concentre sur la manipulation purement algébrique des expressions logarithmiques et sur la résolution d'équations variées. Il permet de vérifier la technicité et la rigueur de l'élève.

• Question 1 : Le but est de simplifier des sommes et différences de logarithmes pour trouver un résultat entier. Par exemple, pour \(A = log(40) + log(25)\), on utilise \(log(a) + log(b) = log(ab)\) pour trouver \(log(1000) = 3\). Cela teste la maîtrise des formules fondamentales.
• Question 2 : Il faut exprimer des logarithmes de nombres (\(log(18)\), \(log(\frac{16}{27})\)) en fonction d'une base de logarithmes (\(log(2)\) et \(log(3)\)). Cela nécessite de décomposer les nombres en facteurs premiers puis d'appliquer les propriétés du log.
• Question 3 : La résolution de deux types d'équations est demandée :
  • Une équation exponentielle : \(5 \times 1,2^x = 30\). Elle se résout en isolant le terme en puissance puis en appliquant la fonction logarithme.
  • Une équation de puissance : \(x^5 = 40\). La solution peut s'exprimer à l'aide de la fonction logarithme ou d'une racine cinquième.

En somme, ce sujet de bac technologique sur le logarithme est très complet. Il aborde les définitions, les propriétés algébriques, la résolution d'équations/inéquations et une application concrète via un problème de modélisation.