Contrôle Corrigé de Maths : Suites et Modèles d'Évolution (Terminale Maths Complémentaires)

Ce sujet de maths de niveau Terminale, option Maths Complémentaires, est une évaluation complète sur le chapitre des suites numériques et des modèles d'évolution. D'une durée d'une heure, ce contrôle est un excellent outil de révision pour maîtriser les concepts clés : suites géométriques, suites arithmético-géométriques, calcul de limites, modélisation de situations concrètes et utilisation d'algorithmes. Chaque exercice est indépendant et aborde une facette différente du chapitre.

Ce document est idéal pour s'entraîner en conditions réelles et valider ses compétences sur les suites, un thème central du programme. Retrouvez une analyse détaillée de chaque exercice pour comprendre les attendus et les méthodes de résolution.

Exercice 1 - Deux suites géométriques

Cet exercice se divise en deux parties et constitue une introduction parfaite pour vérifier la maîtrise des bases des suites géométriques.

• Partie 1 : On étudie une suite \((u_n)\) définie par sa forme explicite \(u_n = 250 \times 1,04^n\). Les questions portent sur :
  • Le calcul des premiers termes (\(u_0, u_1, u_2\)).
  • La justification de la nature géométrique de la suite et l'étude de son sens de variation. La raison \(q=1,04 > 1\) et le premier terme \(u_0=250 > 0\), donc la suite est croissante.
  • La détermination de sa limite. Comme \(q > 1\), la limite de \((u_n)\) est \(+\infty\).
• Partie 2 : On s'intéresse à une suite \((v_n)\) définie par récurrence : \(v_0 = 80\) et \(v_{n+1} = 0,6 v_n\). Il faut :
  • Donner l'expression de \(v_n\) en fonction de \(n\), qui est \(v_n = 80 \times 0,6^n\).
  • Calculer sa limite. La raison \(q=0,6\) est comprise entre -1 et 1, donc la limite de \((v_n)\) est 0.
  • En déduire, par opérations sur les limites, la limite de la suite \((t_n)\) définie par \(t_n = 100 - v_n\), qui est 100.

Exercice 2 - Une forêt gérée

Cet exercice est un problème classique de modélisation qui aboutit à une suite arithmético-géométrique. On part d'une situation concrète : une forêt de 5000 arbres où l'on abat 4% du total chaque année avant d'en replanter 150.

• La première étape consiste à traduire le problème en langage mathématique pour calculer les premiers termes \(a_1\) et \(a_2\).
• Ensuite, il faut justifier la relation de récurrence qui lie deux termes consécutifs : \(a_{n+1} = a_n \times (1 - \frac{4}{100}) + 150\), soit \(a_{n+1} = 0,96 a_n + 150\).
• Enfin, on doit prouver que la suite \((a_n)\) n'est pas géométrique, en montrant par exemple que \(\frac{a_1}{a_0} \neq \frac{a_2}{a_1}\).

Exercice 3 - Lecture d'un nuage de termes

Cet exercice évalue les compétences d'analyse graphique appliquées aux suites. Un nuage de points représentant les premiers termes d'une suite \((u_n)\) est fourni.

• Il s'agit de lire graphiquement les valeurs de \(u_0, u_1, u_2\).
• À partir de l'observation des points, on doit conjecturer le sens de variation (la suite semble décroissante) et sa limite (elle semble converger vers 2).
• La question suivante demande de vérifier si la suite peut être géométrique, ce qui se fait en utilisant les valeurs lues précédemment.
• Finalement, la forme explicite de la suite, \(u_n = 2 + 8 \times 0,5^n\), est donnée. On l'utilise pour vérifier une des valeurs lues et pour calculer formellement la limite de la suite, confirmant ainsi la conjecture.

Exercice 4 - Un étang de truites

Cet exercice introduit un modèle d'évolution plus complexe, le modèle de Verhulst, qui décrit une croissance de population limitée. La suite est définie par \(N_{t+1} = N_t + 0,1 N_t (8 – N_t)\). L'originalité de l'exercice réside dans son approche algorithmique.

• Il faut compléter une fonction Python `truites(n)` utilisant une boucle `for` pour calculer le terme de rang \(n\).
• On demande ensuite de calculer et d'interpréter \(N_1\).
• La partie la plus intéressante est de compléter une seconde fonction Python `seuil()` avec une boucle `while` pour déterminer le plus petit entier \(t\) tel que la population dépasse un certain seuil (\(N_t \geq 7,5\)). C'est un problème de seuil classique.
• L'exercice se termine par une question d'interprétation sur l'évolution à long terme et la signification du paramètre 8 (la capacité d'accueil de l'étang).

Exercice 5 - La décrue d'une épidémie

Retour à un modèle plus simple avec ce problème de modélisation d'une décrue épidémique. Le nombre de cas diminue de 15% chaque semaine, ce qui correspond à une suite géométrique de raison \(q = 0,85\).

• Les questions guident l'élève pour :
  • Calculer les premiers termes.
  • Justifier la nature géométrique de la suite et trouver son expression explicite \(c_n = 2400 \times 0,85^n\).
  • Déterminer la limite (qui est 0) et l'interpréter dans le contexte : l'épidémie finit par s'éteindre.
  • Résoudre à la calculatrice l'inéquation \(c_n < 100\) pour déterminer le moment où l'épidémie est considérée comme terminée. Il s'agit encore d'un problème de seuil.
  • Comparer le résultat obtenu avec une affirmation journalistique pour tester l'esprit critique.

Exercice 6 - Limites et seuils

Ce dernier exercice est un exercice technique qui synthétise les compétences sur les limites de suites géométriques et la résolution de problèmes de seuils.

• La première question demande de calculer, en justifiant, les limites de deux suites : \(a_n = 3 \times 1,25^n\) (divergente) et \(b_n = 2 - 4 \times 0,7^n\) (convergente).
• Les deux questions suivantes sont des applications directes de l'utilisation de la calculatrice pour résoudre des problèmes de seuil en trouvant le plus petit entier \(n\) qui vérifie une inégalité donnée, comme \(0,7^n < 0,01\).