3. Trouver la forme explicite d'une suite géométrique

Introduction

Allez les amis, c'est parti pour une autre formule fondamentale qui vous permet de passer de la forme explicite à la forme récurrente et inversement. Ce sont des questions du style "Donnez la forme explicite" ou alors "Exprimez en fonctions de \(m\)", c'est exactement la même chose. Comment est-ce qu'on fait ? On est face à des suites qui sont géométriques. Pour chacune de ces suites, on vous a donné la forme récurrente, c'est-à-dire le terme suivant en fonction du terme précédent.

Formule fondamentale

Vous avez une formule qui vous aidera. Encore une fois, votre professeur d'algèbre m'a dit que quand on avait \(u_{n+1}\) qui valait \(u_n\) fois \(q\), on pouvait dire que \(u_n\) valait \(u_0\) fois \(q^n\). Oubliez cette formule, celle que je veux que vous reteniez, c'est celle-là : \(u_n = u_p \times q^{(n-p)}\). Pourquoi elle est plus forte, celle-là ? Parce que vous remarquerez que le premier terme n'est pas toujours le terme numéro zéro. Or, la formule du \(u_n = u_0 \times q^n\) ne marche que quand le premier terme est le terme 0. Dans le cas général, c'est cette formule-là que vous allez devoir retenir, avec \(p\) qui est le premier terme.

Exemples

Alors commençons avec cette suite-là. Est-ce que c'est une suite géométrique ? Oui, parce que pour passer d'un terme à l'autre, je multiplie toujours par le même nombre. Ce même nombre, c'est la raison qu'on note \(q\) pour les suites géométriques. Du coup, je peux directement utiliser la formule qui s'applique : \(u_n = u_p \times q^{(n-p)}\). Donc mon \(p\) c'est zéro, donc \(u_n = u_0 \times q^n\). Sauf que mon \(p\) vaut zéro, je remplace \(u_0\) par 2, je remplace \(q\) par sa valeur \(3/2\), et \(n - p\) ça fait juste \(n\). Là, vous vous dites, j'encadre et je prends le point. Sauf que là, vous ne prenez pas le point si vous écrivez ça. Expliquez-moi pourquoi est-ce que vous ne prenez pas le point si vous écrivez ça ? Tout simplement parce que quand vous écrivez \(3/2^n\), et que vous le mettez comme ça, vous n'avez pas écrit trois demis à la puissance \(n\), vous avez écrit trois puissances \(n\) divisé par 2. Pour que ça soit juste, il faut qu'il y ait une parenthèse ici, c'est-à-dire que la puissance \(n\) concerne toute la raison, pas seulement le 3. Et si vous avez envie de vous débarrasser de la parenthèse, vous devez écrire \(2 \times (3/2)^n\), parce que je vous rappelle que quand on a \(a/b^n\), la puissance \(n\) touche le \(a\) mais touche aussi le \(b\). Deuxième exemple, et c'est là qu'on va comprendre pourquoi cette formule-là est plus puissante. Parce que jusque-là, vous vous dites, mais j'aurais très bien pu me contenter de \(u_n = u_0 \times q^n\). Pourquoi est-ce que je m'embête à apprendre une formule aussi compliquée ? Eh bien, on va voir ça tout de suite. Donc, dans ce cas-là, on avait \(u_{n+1} = -2 \times u_n\). Donc, on est bien face à une suite géométrique, parce que pour avoir le terme suivant, je prends le terme précédent et je le multiplie par -2. Je m'applique donc ma formule \(u_n = u_p \times q^{(n-p)}\). Donc, \(u_n = u_{10} \times (-2)^{n-10}\). Donc, \(u_n = 5 \times (-2)^{n-10}\). Est-ce que je prends le point ? Non, parce que si j'écris \((-2)^{n-10}\), la puissance \(n-10\) ne concerne que le 2, elle ne concerne pas le moins. Donc, je suis obligé de mettre une parenthèse ici, et là je prends le point. Dites-vous bien que ces deux compétences-là, donc être capable de donner la forme explicite d'une suite arithmétique et la forme explicite d'une suite géométrique à partir de la forme récurrente, c'est vraiment la base de tout ce qui va suivre derrière. Donc, vous êtes vraiment obligés de savoir faire ça. Entraînez-vous jusqu'à ce que ce soit parfait. Allez, je vous laisse.