Introduction
Allons-y, petit point méthode pour voir comment démontrer qu'une suite est géométrique. C'est parti. Alors, la technique pour montrer qu'une suite est géométrique est toujours la même. On va partir de \(v_n\) puis là, on va dire ce que c'est. On va travailler, travailler et travailler, et à la fin, on veut avoir quelque chose une fois \(v_n\), ce quelque chose étant un nombre réel et ça sera notre raison. C'est aussi simple que ça.
Exemple pratique
En pratique, comment ça se fait ? \(v_{n+1}\) est égal à deux fois un tiers à la puissance \(n + 1\). J'ai juste repris cette expression là, j'ai remplacé \(n\) par \(n+1\). Maintenant, comment on va faire ? On va avoir quelque chose qui vient de \(v_n\). Donc là, ce que je vais faire, c'est une technique et j'aimerais bien que vous appreniez à faire c'est à dire, si vous voulez partir d'un point A et arriver à un point B et que vous avez du mal à savoir comment vous allez avancer, vous pouvez aussi choisir de remonter un peu. Donc moi, je sais qu'avant d'avoir écrit \(v_{n+1}\), j'aurai écrit \(v_n\) qui est égal à deux fois un tiers à la puissance \(n - 5\). Donc, regardons ce que je vais faire.
C'est vraiment un réflexe. \(v_{n+1}\), je ne vais pas l'écrire là, je vais l'écrire ici : \(n - 5 + 1\). Et maintenant, je vous rappelle une formule que vous connaissez qui est que quand vous avez un nombre à la puissance \(b + c\), c'est la même chose que d'avoir \(a^b \times a^c\). Autrement dit, quand j'ai un nombre à la puissance d'une somme, je peux le transformer en produit du nombre à la puissance des deux nombres.
Donc, regardez, j'ai bien un nombre à la puissance \(n - 5 + 1\), donc j'ai le droit d'utiliser cette formule. En fait, deux fois un tiers à la puissance \(n - 5 + 1\) c'est comme deux fois un tiers à la puissance \(n - 5\) fois un tiers à la puissance 1. Un tiers à la puissance 1, c'est juste un tiers. Et regardez ce que j'ai fait, deux fois un tiers à la puissance \(n - 5\) est égal à deux fois un tiers à la puissance \(n - 5\) fois un tiers. Donc en fait, j'ai trouvé ma raison qui est un tiers. J'ai bien \(v_{n+1}\) qui vaut un tiers fois \(v_n\). Donc c'est une suite géométrique de raison \(q\) égale à un tiers. Terminé.
Conclusion
Je prends le point. Ce n'est pas si évident que ça, franchement, ça mérite que vous vous entraîniez un peu. N'oubliez jamais cette formule, franchement, tatouez-la quelque part parce qu'elle est ultra importante. C'est vraiment la base. Celle-là et celle-là sont égales à \(a^{b+c} = a^b \times a^c\). Et ça, ce sont vraiment des formules pratiques qui vont vous servir énormément pendant les suites. Les suites, c'est quasiment que du calcul, il n'y a rien de compliqué mais il faut savoir calculer.
Je vous en donne une autre pour le fun. Donc, quand les données sont sous forme explicite, vous ne pouvez pas vraiment le démontrer parce que c'est déjà démontré. En fait, on a déjà mis \(v_{n+1}\) égal à quelque chose fois \(v_n\). Donc là, vous pouvez dire directement que la raison est deux cinquièmes.
Entraînez-vous sur cet exercice. On vous en a mis un ou deux comme ça pour vous entraîner, notamment avec ces formules-là. Vous allez me les faire et ensuite on va passer à un exemple plus compliqué qui est l'exode des suites composées. C'est à dire que vous avez une suite qui n'est ni arithmétique ni géométrique et une suite qui est reliée à la première et qui va vous permettre de bidouiller pour arriver à faire quelque chose. Il faut que vous maîtrisiez parfaitement ça. Il faut que vous maîtrisiez parfaitement les puissances. À vous de jouer.