Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3

Introduction

Allez, c'est parti les amis, nous allons analyser les énoncés et les transformer ensuite. Vous allez voir que les gros problèmes commencent toujours avec une petite histoire.

Exemple 1 : Population de lapins

Un éleveur possède 500 lapins. Chaque année, il perd trois lapins ou chaque année sa population augmente de 3%. Votre travail est de transformer cet énoncé en une suite.

Exemple 2 : Quantité d'eau dans un barrage

Un barrage se remplit de 5000 litres d'eau par mois. Dans le même temps, 3% de l'eau s'évapore. Donnez le terme général de la suite qui donne chaque mois la quantité d'eau dans le barrage. Le terme général, c'est à dire qu'on attend de vous une formulation récurrente, c'est à dire \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\) et non \(u_n\) en fonction de \(n\). Chaque mois, le barrage se remplit de 5000 litres d'eau mais en même temps, chaque mois, il y a 3% d'eau qui s'évapore. Donc, ça va commencer par \(u_{n+1} = \) et vu que c'est une formulation récurrente, vous allez avoir du \(u_n\). Si 3% de l'eau s'évapore, comment est-ce que j'applique cela mathématiquement ? Comment est-ce que je prends le terme d'avant pour arriver au terme d'après ? Si j'ai 100 euros et que j'ai 3% de mon volume d'argent qui s'est évaporé, ce qui me reste le mois suivant est 97 euros. Donc, pour traduire mathématiquement une perte de 3%, je multiplie par \(1 - \frac{3}{100} = 0.97\). Mais il n'y a pas que 3% qui s'évapore chaque mois, le barrage se remplit aussi de 5000 litres. Donc, je dois ajouter à cela 5000, soit \(u_{n+1} = 0.97u_n + 5000\). Deux remarques : 1. On pourrait se demander pourquoi on n'a pas d'abord ajouté 5000 litres avant de dire que ça s'évapore. C'est une bonne question, mais sachez que dans tous les cas, vous allez faire deux choses : multiplier \(u_n\) et y additionner quelque chose. On commencera toujours par la multiplication et ensuite on fera l'addition. 2. Cela vous fait penser à quelque chose ? La vidéo juste avant, qu'est-ce qu'on a vu ? On a vu les suites qui sont arithmétiques et géométriques, c'est à dire que l'on passe du terme précédent en multipliant par quelque chose et en ajoutant quelque chose. Donc en fait, cet exercice est juste l'entrée en matière de l'exercice qu'on a vu précédemment qui est la suite arithmético-géométrique. Si vous combinez les deux ensemble, vous avez franchement une bonne base pour votre contrôle.