Contrôle corrigé sur les Suites et Modèles d'Évolution (Terminale Maths Complémentaires)

Obtenez une analyse détaillée et un corrigé de ce sujet de contrôle pour la terminale en option maths complémentaires. Ce devoir d'1h30, centré sur les chapitres des suites numériques et des modèles d'évolution, est un excellent outil de révision. Il couvre les compétences essentielles comme les suites géométriques, les suites arithmético-géométriques et les différents théorèmes sur les limites de suites. Chaque exercice est décortiqué pour vous aider à comprendre la logique et les méthodes de résolution attendues.

Exercice 1 : Question de cours sur les suites géométriques

Cet exercice est une restitution organisée de connaissances, un classique du chapitre sur les suites. Il vise à redémontrer la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.

• La première question vous guide pour prouver que pour une suite géométrique de raison \(q\), la somme \(S_n = 1 + q + ... + q^n\) vaut \(\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\).
• Les questions suivantes portent sur la limite de la suite géométrique \((q^n)\) lorsque \(|q| < 1\), et par conséquent la limite de la somme \(S_n\).
• Enfin, une application concrète vous demande de calculer la limite de la somme \(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{3^n}\).

Exercice 2 : Modélisation par une suite - L'aire du segment de parabole

Inspiré par la méthode d'Archimède, cet exercice est un excellent exemple de modélisation d'un problème géométrique par une suite. On cherche à calculer l'aire d'un segment de parabole en le remplissant par une infinité de triangles.

• Vous devez d'abord identifier que la suite \((A_n)\), représentant l'aire des triangles ajoutés à chaque étape, est une suite géométrique.
• Il faut ensuite calculer la somme des aires \(S_n = A_0 + A_1 + \dots + A_n\), ce qui revient à appliquer la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.
• La détermination de la limite de \(S_n\) permet de trouver l'aire totale du segment de parabole, un résultat historique.
• La dernière question est une application pratique qui requiert l'utilisation de la calculatrice pour trouver le nombre d'étapes \(n\) nécessaire pour approcher l'aire totale à une précision donnée (\(10^{-3}\)). C'est un exercice de recherche de seuil.

Exercice 3 : Suite arithmético-géométrique et logarithme de Neper

Ce problème complet est le cœur de ce contrôle. Il aborde les suites arithmético-géométriques et fait le lien avec la notion historique de logarithme. Un sujet très formateur pour les élèves de terminale en maths complémentaires.

Partie A : Le point M

• La modélisation du mouvement d'un point \(M\) aboutit à une relation de récurrence de la forme \(x_{n+1} = 0.9x_n + 10\). Il est crucial de reconnaître une suite arithmético-géométrique.
• L'exercice détaille la méthode de résolution classique : trouver le point fixe, introduire une suite auxiliaire \((v_n)\) qui est géométrique, en déduire la forme explicite de \((v_n)\) puis celle de \((x_n)\).
• L'étude du sens de variation et de la limite de la suite \((x_n)\) est demandée, avec une interprétation concrète dans le contexte du problème (le point M se rapproche de A sans jamais l'atteindre).

Partie B : Le logarithme de Neper

• Cette partie introduit deux nouvelles suites : une suite arithmétique \((y_n)\) et une suite géométrique \((r_n)\).
• L'objectif est de montrer que la relation \(r_m \times r_p = 100 \times r_{m+p}\) est vérifiée, et que cela correspond à la relation \(y_{m+p} = y_m + y_p\).
• C'est une belle illustration de la propriété fondamentale des logarithmes qui transforme les produits en sommes, expliquant leur utilité historique en astronomie pour simplifier des calculs complexes.

Exercice 4 : Limites de suites - Questions diverses

Cet exercice balaye différentes techniques de calcul de limites de suites.

• Calcul d'une limite par opérations sur les limites (somme, produit).
• Application directe du théorème des gendarmes (ou théorème d'encadrement) pour trouver la limite d'une suite encadrée par deux autres suites qui convergent vers la même limite.
• Utilisation du théorème de comparaison pour déterminer la limite d'une suite minorée par une suite qui diverge vers \(+\infty\).
• Enfin, une question de recherche de seuil à la calculatrice, demandant de trouver à partir de quel rang \(n\) une suite devient inférieure à une valeur donnée.