8. Conjecturer la limite d'une suite

Introduction à la limite des suites

Allez les amis, on est parti pour étudier la limite des suites. Donc, si c'est la première fois que vous entendez cette notion de limites, la limite d'une suite, vous pouvez la retrouver avec deux types de questions. Cette question-là et cette question-là, c'est exactement la même. On vous dit : "Que peut-on dire des suites quand \(n\) devient grand ?" ou alors on va vous dire : "Conjecturez les limites des suites". On est parti.

Comprendre la notion de limite

Qu'est-ce que ça veut dire que \(n\) devient grand ? C'est la première fois que vous allez toucher ces notions de plus l'infini ou de moins l'infini. Quand \(n\) devient grand, ça veut dire que \(n\) va prendre une valeur qui est infiniment grande et on vous demande d'en déduire que devient la suite \(u_n\) quand la valeur est infiniment grande. Donc, si \(n\) qui est infiniment grand, est multiplié par 2, si je prends l'infini et que je le multiplie par 2, qu'est-ce que ça me fait ? Bien, ça ne fait pas deux fois l'infini, ça fait l'infini. C'est ça qui est dur à comprendre et c'est ça qu'il faut que vous compreniez. C'est que deux fois l'infini, ça fait toujours l'infini. Donc, quand \(n\) devient infiniment grand, \(2n\) devient infiniment grand. Et si je prends un nombre infiniment grand et que je lui en rajoute 1, qu'est-ce que ça me fait ? Ça fait toujours un nombre infiniment grand. Donc, la suite \(u_n\) quand elle tend vers plus l'infini, c'est plus l'infini. Et ça, ça s'écrit comme ça : \(\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\). Vous encadrez proprement et vous prenez les points. Ça, c'est vraiment le cas facile. On va voir tout de suite le cas légèrement plus compliqué.

Exemple de calcul de limite

Donc, on a une suite \(v_n\). Que devient-elle quand \(n\) devient grand ? Conjecturez la limite de \(v_n\), qui est exactement la même question. Je me dis, c'est pas compliqué, quand \(n\) devient infiniment grand, que devient \(1/n\) ? Alors là, deux options : soit vous le voyez directement, soit vous faites un calcul. Je prends 1 et je le divise par un nombre très, très grand, puisque infiniment grand. Par exemple, si je prends 1 et que je le divise par 1000 milliards, combien de fois puis-je mettre 1000 milliards dans 1 ? Zéro fois, car 1000 milliards c'est tellement grand, ça ne rentrera jamais dans 1. Donc, si \(n\) est un nombre infiniment grand, quand je le mets au dénominateur, ça me fera toujours zéro. Donc, ce terme-là, il tend vers zéro. Maintenant, qu'est-ce qui se passe si j'additionne 1 à un nombre qui tend vers zéro ? Eh bien, ça va tendre vers 1. Donc, la limite de \(v_n\) quand \(n\) tend vers l'infini, c'est 1. Ces notions-là, on va les revoir dans les suites arithmétiques et géométriques. Mais moi, je voudrais vraiment que vous entraîniez votre cerveau à comprendre que quand \(n\) devient grand et que l'on conjecture les limites, c'est ce réflexe-là qu'il faut avoir. Donc, on se dit : \(n\) devient infiniment grand, qu'est-ce qui se passe ? Si on a un doute, on fait le calcul. À vous de jouer, vous en avez pas mal à faire.