Analyse du sujet de mathématiques - Suites et modèles d'évolution

Ce contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale, option Maths Complémentaires, est un sujet complet d'1h30 portant sur le chapitre des suites et modèles d'évolution. Il est structuré en trois exercices distincts qui évaluent la compréhension des suites numériques, leur application à des problèmes concrets et l'analyse de leur comportement (variation, limite).

Ce document propose une analyse détaillée de chaque exercice, mettant en lumière les compétences requises. C'est une ressource idéale pour les élèves souhaitant s'entraîner et pour les enseignants cherchant un sujet de contrôle corrigé sur les suites.

Exercice 1 : QCM de connaissances fondamentales

Ce premier exercice est un questionnaire à choix multiples de 5 questions. Il vise à vérifier rapidement l'acquisition des savoir-faire de base sur les suites.

• Question 1 : Calcul des premiers termes d'une suite récurrente de type \( u_{n+1} = 3u_n - 4 \). Une simple application de la formule pour trouver \( u_1 \) puis \( u_2 \).
• Question 2 : Détermination de la limite d'une suite géométrique de la forme \( v_n = q^n \) avec \( |q| < 1 \). Ici, \( v_n = 0,8^n \), la limite est donc 0.
• Question 3 : Modélisation d'une situation d'évolution. Une population diminuant de 5% par an correspond à une multiplication par un coefficient multiplicateur de \( 1 - \frac{5}{100} = 0,95 \). La suite est donc géométrique, \( P_{n+1} = 0,95 P_n \).
• Question 4 : Recherche du point fixe d'une suite. Si une suite est constante et vérifie \( u_{n+1} = 0,5u_n + 4 \), alors sa valeur \( l \) vérifie l'équation \( l = 0,5l + 4 \), ce qui donne la limite de la suite si elle converge.
• Question 5 : Étude du sens de variation et de la limite d'une suite explicite \( w_n = 7 - 2 \times 3^n \). Il s'agit d'analyser le comportement du terme \( 3^n \) qui tend vers \( +\infty \), entraînant la limite de \( w_n \) vers \( -\infty \). La variation est obtenue en étudiant le signe de \( w_{n+1} - w_n \).

Exercice 2 : Un escalier vers la limite

Cet exercice se concentre sur l'étude complète d'une suite arithmético-géométrique définie par récurrence, \( u_{n+1} = f(u_n) \) avec \( f(x) = 0,5x + 3 \). Il combine approche graphique et calculatoire.

• Question 1 : Calcul des termes initiaux \( u_1 \) et \( u_2 \), une étape de base pour se familiariser avec la suite.
• Question 2 : Construction de la représentation graphique d'une suite récurrente (en 'escalier' ou 'toile d'araignée') à l'aide de la courbe de la fonction \( f \) et de la droite d'équation \( y=x \). Cette compétence visuelle est cruciale.
• Question 3 : Formulation de conjectures sur le sens de variation et la limite de la suite à partir du graphique. On observe une suite croissante qui semble converger vers l'abscisse du point d'intersection des deux droites.
• Question 4 : Cette question guide l'élève dans la démonstration rigoureuse des conjectures.
  • a. Calcul du point fixe \( l \), qui est la limite potentielle de la suite.
  • b. Introduction d'une suite auxiliaire \( v_n = u_n - l \). La tâche est de démontrer que cette suite est géométrique, une méthode classique pour les suites arithmético-géométriques.
  • c. Détermination de la forme explicite de \( v_n \) puis de \( u_n \) en fonction de \( n \).
  • d. Validation des conjectures en étudiant la limite de l'expression explicite de \( u_n \) et le signe de \( u_{n+1} - u_n \).
• Question 5 : Généralisation du résultat en étudiant une autre suite vérifiant la même relation de récurrence mais avec un premier terme différent. L'objectif est de comprendre que la limite d'une suite arithmético-géométrique convergente ne dépend que de la relation de récurrence, et non du terme initial.

Exercice 3 : Les tables d'intérêt de Simon Stevin

Ce dernier exercice est un problème concret d'application des suites à un modèle d'évolution financier, les intérêts composés. Il est divisé en deux parties pour complexifier progressivement le modèle.

• Partie A : Le capital d'un marchand (intérêts composés simples)
  • Questions 1 & 2 : Il s'agit de modéliser une situation d'augmentation annuelle de 10% par une suite géométrique de raison 1,1 et d'en donner la forme explicite \( C_n = 1000 \times 1,1^n \).
  • Question 3 : Utilisation d'un tableau de valeurs pour résoudre un problème de seuil : trouver au bout de combien d'années un capital a doublé. Cela correspond à trouver le plus petit entier \( n \) tel que \( C_n \ge 2 C_0 \).
  • Question 4 : Manipulation des propriétés des puissances, un rappel utile lié aux suites géométriques.
• Partie B : Avec un retrait annuel
  • Questions 1 & 2 : Le modèle est complexifié par un retrait annuel fixe. Il faut justifier que la nouvelle suite \( (R_n) \) est une suite arithmético-géométrique de la forme \( R_{n+1} = 1,1 R_n - 50 \).
  • Questions 3 & 4 : L'étude de cette suite reprend la méthode vue dans l'exercice 2 : recherche du point fixe, introduction d'une suite auxiliaire géométrique, et détermination de la forme explicite \( R_n = 500 + 500 \times 1,1^n \).
  • Question 5 : Application numérique à l'aide du tableau fourni pour calculer une valeur approchée de \( R_{10} \).
  • Question 6 : Analyse d'un cas différent où le capital initial est plus faible. La forme explicite \( S_n = 500 - 100 \times 1,1^n \) montre que le capital devient négatif. Il est demandé d'interpréter ce résultat dans le contexte du problème : le marchand s'endette.

En conclusion, ce sujet de Terminale Maths Complémentaires couvre de manière exhaustive les compétences attendues sur les suites géométriques et arithmético-géométriques, de la modélisation à l'étude complète de leur comportement.