Introduction
Allez les amis, aujourd'hui c'est parti pour un exercice typique du contrôle où on va apprendre à gérer les suites. Dans l'énoncé, on a une suite \(v_n\) qui vaut \(\frac{1}{n} - \frac{1}{v_n - 1}\). Pendant une fouille des élèves, elle est définie en fonction de la suite \(u_n\) de l'énoncé. On s'y met tout de suite.
Comprendre les suites arithmétiques et géométriques
De la même manière qu'on avait vu ensemble les suites arithmétiques et géométriques, c'est-à-dire une suite qui n'est ni arithmétique ni géométrique, on se sert d'une suite secondaire pour montrer qu'elle est géométrique. Là, on a une suite qui n'est ni arithmétique ni géométrique, et on va se servir d'une suite secondaire pour montrer qu'elle est arithmétique. Donc en fait, c'est l'exercice inverse de ce que vous avez déjà l'habitude de faire. La technique, c'est toujours la même : on commence par montrer que \(v_n\) est arithmétique, on en déduit \(v_n\) en fonction de \(n\), une fois qu'on a \(v_n\) en fonction de \(n\), on peut avoir \(u_n\) en fonction de \(n\), et une fois qu'on a \(u_n\) en fonction de \(n\), on peut en déduire sa limite.
Montrer qu'une suite est arithmétique
Comment fait-on pour montrer qu'une suite est arithmétique ? On l'a vu en première, il y a deux techniques. La première, c'est de dire \(u_{n+1} - u_n\) et je montre que c'est constant, parce qu'une suite arithmétique, c'est une suite où on passe d'un terme à l'autre en ajoutant toujours le même nombre. Soit je pars de \(v_{n+1}\), je travaille et je vais travailler jusqu'à ce qu'à la fin, \(v_{n+1}\) soit égal à \(v_n\) plus quelque chose, et ce quelque chose, ça sera ma raison.
Calculs et manipulations
Comme d'habitude, on cadre la formule que j'ai dans l'énoncé. Donc on va donner ça et on va donner ces deux formules. \(v_{n+1}\) est égal à \(1/(u_{n+1} - 1)\) et \(u_n\) est égal à \(1/(v_n + 1)\).
Je vais prendre cette expression là et je vais la travailler pour avoir non pas \(v_n\) en fonction de \(u_n\) mais \(u_n\) en fonction de \(v_n\). Donc je pars de \(v_n = 1/(u_n - 1)\), je vais interchanger ces deux là, c'est-à-dire que j'ai \(u_n x v_n = 1\), donc \(u_n = 1/v_n\). Et ça, ça veut dire que \(u_n\) est égal à \(1/(v_n + 1)\). Sauf que \(v_n\), je le connais en fonction de \(n\), \(v_n\) c'est \(1 + n/4\), donc \(u_n\) c'est \(1/(1 + n/4 + 1)\).
Calcul de la limite
Maintenant que j'ai l'expression explicite de \(u_n\), c'est-à-dire l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), je peux calculer la limite de \(u_n\) quand \(n\) tend vers l'infini. Donc \(u_n\) tend vers \(1/(1 + n/4 + 1)\) quand \(n\) tend vers l'infini. Donc \(u_n\) tend vers \(1/(1 + 0 + 1)\) quand \(n\) tend vers l'infini, donc \(u_n\) tend vers \(1/2\) quand \(n\) tend vers l'infini.
Conclusion
C'est un exercice vraiment chaud, il faut connaître l'astuce. Essayez de refaire sans avoir regardé l'astuce et voyez si vous y arrivez. Vous êtes les meilleurs. Allez, au boulot pour les quatre derniers points du contrôle, à vous de jouer.