9. Trouver un rang n d'une suite à la calculatrice

Introduction

Allez les amis, c'est parti ! Aujourd'hui, on va s'amuser un petit peu avec le tableur de la calculatrice et on va apprendre comment utiliser la calculette et le tableur pour trouver à partir de quel rang une suite devient plus grande qu'un certain nombre. Vous remarquerez qu'ici on a deux types de suites et la technologie qu'on va utiliser pour chacun de ces deux types de suites n'est pas du tout la même.

Différence entre les deux types de suites

Donc, quelle est la différence entre ces deux suites ? Et bien, la première suite, \(u_n = 5 + 3n\), est définie de manière explicite. Très bien joué ! \(u_n\) en fonction de \(n\). La deuxième suite, \(u_{n+1} = u_n^2\), \(u_0 = 1.1\), est définie de manière récurrente. Vous suivez bien, ça fait plaisir ! Alors, on ne va pas utiliser la calculatrice de la même manière dans ces deux cas.

Utilisation de la calculatrice pour le premier cas : le cas explicite

Pour le premier cas, le cas explicite, la première chose à faire est de vous assurer que vous êtes en mode fonction. Je sais que ça peut vous sembler bizarre d'utiliser le mode fonctions pour une suite, mais pour les suites explicites, c'est comme ça qu'on procède. Donc, je suis bien en mode fonctions, je vais là dedans et maintenant je vais rentrer la fonction qui correspond à ma suite. Donc ma suite est \(5 + 3n\). Je vais dans les variables \(x\). Ça se comporte comme un \(n\), c'est exactement la même chose. Une fois que vous avez rentré ça, vous allez dans seconde table et là, comme par magie, pour \(n = 0\), vous avez bien \(5 + 3 \times 0 = 5\), pour \(n = 1\), \(5 + 3 \times 1 = 8\), et ainsi de suite. Maintenant, ce qui m'intéresse, c'est de savoir à partir de quel moment la suite devient plus grande que 100. Ce qui nous intéresse, c'est de savoir à partir de quel moment un des termes de la suite devient plus grand que 100. Donc, la colonne que je regarde, c'est la colonne qui donne la valeur de \(u_n\), c'est-à-dire la deuxième colonne, celle en bleu. Donc je descends jusqu'à ce que je réussisse à atteindre la valeur 100. On voit que quand je passe de \(n = 31\) à \(n = 32\), j'ai \(u_{31} = 98\) et \(u_{32} = 101\). Donc la valeur à partir de laquelle cette suite là est plus grande que 100 est \(n = 32\).

Utilisation de la calculatrice pour le deuxième cas : le cas récurrent

Pour les suites définies de manière récurrente, on va mettre la calculatrice en mode suite. Je clique sur suite à droite et je retourne à demain. Ce qu'il faut que vous compreniez bien, c'est que la calculatrice n'accepte pas cette notation là, c'est-à-dire que vous n'avez pas le droit d'écrire \(u_{n+1} = u_n^2\). La calculatrice veut que vous commenciez par \(u_n\). Donc cette relation là, c'est quelque chose que j'aimerais bien que vous compreniez. Plutôt que de comprendre \(u_{n+1}\), comprenez "le terme suivant est égal au terme précédent au carré". Donc, sur la calculatrice, on vous donne l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) et de \(n-1\). Donc j'utilise cette ligne là, où est \(n\), il y a \(u_{n-1}\) au carré. Et donc je vais chercher mon \(n\) en faisant secondes, cette journée, parenthèse, \(n - 1\), tacle sur la parenthèse, et je mets le tout au carré. Super ! Maintenant, comme c'est une suite définie de manière récurrente, vous devez aussi donner la valeur du premier terme, la valeur du premier terme, j'ai écrit au tableau, c'est \(u_0 = 1.1\). Je vais dans des tables pour bien vérifier qu'elle commence à 0, ma table, et j'ai plus qu'à faire seconde table et observer les valeurs de la suite. Donc, pour \(n = 0\), \(u_0 = 1.1\), on retrouve bien ce qu'on a écrit au tableau, quand \(n = 1\), \(u_1 = 1.21\), et ainsi de suite. Comme tout à l'heure, je regarde \(u_n\), donc la colonne de droite, pour savoir quand est-ce qu'elle va dépasser 100. Et je vois qu'à \(n = 5\), elle passe de \(u_5 = 21\) à \(u_6 = 445\). Donc la valeur de \(n\) qui me permet ici de dépasser 100 est \(n = 6\).

Conclusion

Voilà, c'est à vous de jouer maintenant ! C'est vraiment les exercices qui sont cadeaux, c'est des points cadeaux, c'est des petites manips de rien du tout à faire sur la calculatrice et ça rapporte gros. Par contre, il ne faut vraiment pas que la première fois que vous touchez à vos calculatrices, ce soit le jour du contrôle. Là, c'est sûr, vous allez vous planter. Il va forcément y avoir une petite erreur, je ne sais pas exactement ce que ça va être, mais il y aura forcément un bug. Il faut que vous vous entraîniez. À vous tous, bon courage !