12. Limite d'une suite géométrique

Introduction

Quel est le point commun entre la limite de \(-3 \times \frac{1}{2}^n\), \(5^n - 3^n\) et cette espèce de limites dégueulasse qu'on a ici ? On va le voir tout de suite, c'est les limites de la forme \(q^n\) et on va régler ça en cinq minutes, on y va.

Les limites de la forme \(q^n\)

Ce que vous avez besoin de savoir, c'est ce que vous avez dans votre cours. C'est ce qui s'affiche là quand vous avez \(q^n\), c'est-à-dire quelque chose à la puissance \(n\). Si \(q\) est plus grand que 1, la limite ça va être plus l'infini. En effet, si je fais \(2^n\), ça va faire \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2\), ça tend vers plus l'infini. Si c'est plus petit que 1, par exemple \(-3^n\), ça va faire \(-3, 9, -27\) et ainsi de suite vers cette suite un coup négatif, un coup positif, donc pas de limites. Et si c'est compris entre -1 et 1, par exemple \(-0.5^n\), ça va me faire \(0.5, -0.25, 0.125\) et ainsi de suite, et du coup on tend vers zéro.

Exemples de limites

Ne vous attendez pas à ce que ça soit aussi simple au contrôle. Si vous êtes vraiment verni, vous avez ça. Si vous êtes un peu moins chanceux mais chanceux quand même, vous avez ça. Et dans la majorité des cas, vous allez devoir travailler cette espèce d'énorme limites qu'on va régler avec un calme tranquille. Prenons l'exemple de \(-3 \times \frac{1}{2}^n\). C'est vraiment l'application du cours. \(\frac{1}{2}^n\), c'est bien compris entre -1 et 1, donc \(\frac{1}{2}^n\) ça tend vers zéro. \(-3 \times 0\) ça fait zéro, j'ai rien à justifier, c'est même pas une forme indéterminée. Prenons maintenant l'exemple de \(5^n - 3^n\). Vous êtes refait, vous connaissez votre cours par cœur, vous dites "easy", \(5^n\) c'est plus grand que 1, ça fait plus infinie, \(3^n\) fait plus infinie, merde j'ai 1 - au milieu, je suis dedans. Et effectivement, vous êtes dedans, c'est une forme indéterminée.

Conclusion

Il faut s'entraîner, il n'y a aucun moyen de s'en sortir autrement. S'entraîner, c'est un patron. Comme cela, ce n'est pas celle-là, c'est une application directe du cours. Celle-là, il faut penser à factoriser. Et celle-là, si vous n'avez pas tapé ce calcul au moins une fois, vous n'y arriverez jamais. En vrai, je suis allé très vite, il y a vraiment moyen de se tromper ici, ici, ici et ici. Pour cette formule, allez voir la compétence qu'on a fait sur les suites géométriques et les sommes de termes d'une suite géométrique. On a fait une super vidéo, il y a des supers exercices, prenez le temps, même si au bout d'un moment ça devient lourd, de maîtriser cette formule là parce qu'elle va vous servir vraiment toute la terminale. On vous a mis des exercices en dessous, vous êtes les meilleurs, vous allez les défoncer. Entraînez-vous, parce que ça, ça tombe au contrôle. À vous !