4. Limite d'une somme de suites

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir en trois minutes les séries de suites, les limites et les formes indéterminées. Pour ce qui est des sommes de suites, c'est-à-dire quand j'ai une suite plus une autre ou alors une suite plus une autre, vous avez deux options : soit vous apprenez un tableau compliqué qui s'affiche là, soit vous faites ma technique. Ma technique, c'est de la bombe. Plutôt que d'apprendre tous les cas possibles, on va en apprendre qu'un seul. Ce cas-là, c'est de dire que \(+\infty - \infty\) c'est une forme indéterminée. Si vous savez ça et que vous utilisez un peu de bon sens, vous pouvez régler tout le reste. Je vous montre.

Exemple 1

On vous donne \(n^2 + 2n\). Ce que vous faites au brouillon, c'est pas compliqué. Je commence avec \(n^2\) et ensuite je ferai avec \(2n\). Donc la limite de \(n^2\) quand elle tend vers l'infini, c'est \(+\infty\). La limite de \(2n\) quand elle tend vers l'infini, c'est \(+\infty\). Si je prends \(+\infty + \infty\), est-ce que je suis dans ce cas-là ? Non, donc ce n'est pas une forme indéterminée. Maintenant on réfléchit. Je prends un nombre infiniment grand et j'y ajoute un nombre infiniment grand, qu'est-ce que j'obtiens ? Un nombre infiniment grand. Donc par somme, la limite de \(n^2 + 2n\) quand elle tend vers l'infini, c'est \(+\infty\).

Exemple 2

Maintenant, on va réfléchir d'abord au brouillon à ce que c'est la limite de \(3 + \frac{2}{n} + n^2\). Ça va tendre vers \(3\), \(\frac{2}{n}\) ça va tendre vers \(0\) et \(n^2\) ça va tendre vers \(+\infty\). Donc j'ai \(3 + 0 + +\infty\). Est-ce que \(3 + +\infty\) est une forme indéterminée ? Non, donc ce n'est pas une forme indéterminée. Donc je peux attaquer ma rédaction. La limite de \(3\) c'est \(3\), la limite de \(\frac{2}{n}\) c'est \(0\) et la limite de \(n^2\) c'est \(+\infty\). Par somme, la limite de \(3 + \frac{2}{n} + n^2\) c'est \(+\infty\).

Exemple 3

On continue. La limite quand \(n\) tend vers l'infini de \(n^2 - 2n + 1\). Est-ce que j'ai \(+\infty - \infty\) ? Non, j'ai \(-\infty - \infty\), un truc infiniment négatif auquel j'enlève encore un truc infiniment négatif, ça fait un truc infiniment négatif. Donc on reprend notre notation. La limite de \(n^2\) c'est \(+\infty\), la limite de \(-2n + 1\) c'est \(-\infty\). Par somme, la limite de \(n^2 - 2n + 1\) c'est \(-\infty\).

Exemple 4

La dernière, on voudrait bien qu'on en ait fait 3, il n'y a pas eu une forme indéterminée, peut-être bien que la dernière ça va se jouer. La limite quand \(n\) tend vers l'infini de \(n^2 - 3n + 1\). Ça, ça tend vers \(+\infty\), \(-3n\) ça fait \(-\infty\) et \(1\) ça fait \(+\infty\). Est-ce que je suis en \(+\infty - \infty\) ? Oui, \(+\infty - \infty\) est une forme indéterminée. On va la lever, donc vous pouvez répondre instantanément "forme indéterminée" et vous encadrez et vous prenez le point et la vie est belle. Entraînez-vous parce qu'il y aura après des cas plus costauds.