Contrôle corrigé de Mathématiques pour Terminale Spécialité

Ce sujet de mathématiques de niveau Terminale, spécialité, est un excellent entraînement pour les élèves préparant le baccalauréat. Il porte sur deux chapitres fondamentaux du programme : les probabilités conditionnelles et le dénombrement. D'une durée de 1h30, ce contrôle corrigé est conçu pour évaluer la maîtrise des concepts clés à travers des exercices concrets et progressifs. Vous y trouverez des applications des arbres pondérés, de la formule des probabilités totales, des variables aléatoires, ainsi que des techniques de dénombrement basées sur les permutations et le principe multiplicatif.

Exercice 1 : Fiabilité d'un test de dopage (Probabilités et Étude de fonction) - 12 points

Cet exercice est un problème complet qui lie l'analyse de fonction aux probabilités conditionnelles, un grand classique du bac. Il évalue la capacité à modéliser une situation concrète et à interpréter les résultats mathématiques.

Partie A : Étude d'une fonction rationnelle

La première partie se concentre sur l'étude d'une fonction `f` définie sur `[0; 1]` par `f(x) = \frac{0.96x}{0.93x + 0.03}`. Cette fonction servira de modèle dans la partie B.

• Question 1 : Calcul de la dérivée. Il est demandé de démontrer que `f'(x) = \frac{0.0288}{(0.93x + 0.03)^2}`. Cette question teste la maîtrise de la formule de dérivation d'un quotient de fonctions `(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}`.
• Question 2 : Sens de variation. En étudiant le signe de la dérivée `f'(x)`, qui est toujours positif sur l'intervalle d'étude, on en déduit que la fonction `f` est strictement croissante. Cela sera crucial pour l'interprétation dans la seconde partie.

Partie B : Application aux probabilités conditionnelles

Cette partie applique les résultats de l'étude de fonction à un problème de fiabilité d'un test de dépistage. On note `D` l'événement "le sportif est dopé" et `T` l'événement "le test est positif". On sait que `P(D) = x`, `P_D(T) = 0.96` et `P_{\bar{D}}(T) = 0.03`.

• Question 1 : Arbre de probabilités. La première étape consiste à construire un arbre pondéré qui modélise la situation, une compétence essentielle pour visualiser et organiser les données d'un problème de probabilités conditionnelles.
• Question 2 : Probabilité d'une intersection. On calcule la probabilité que le sportif soit dopé ET que son test soit positif, c'est-à-dire `P(D \cap T)`. En utilisant l'arbre, on trouve `P(D \cap T) = P(D) \times P_D(T) = 0.96x`.
• Question 3 : Formule des probabilités totales. Pour trouver la probabilité de l'événement `T`, on applique la formule des probabilités totales : `P(T) = P(D \cap T) + P(\bar{D} \cap T)`. Le calcul mène à `P(T) = 0.93x + 0.03`.
• Question 4 : Calcul d'une probabilité conditionnelle (Inversion de l'arbre). C'est le cœur du problème. On calcule la probabilité qu'un sportif soit dopé sachant que son test est positif, `P_T(D)`. Cette probabilité, appelée valeur prédictive positive, se calcule par `P_T(D) = \frac{P(D \cap T)}{P(T)}`. On montre qu'elle est égale à `f(x)`. Pour `x=0.05`, on calcule `f(0.05)`.
• Question 5 : Interprétation et résolution d'inéquation. On utilise le modèle pour prendre des décisions. Il faut déterminer la proportion `x` à partir de laquelle la valeur prédictive positive est supérieure à 0.9, ce qui revient à résoudre l'inéquation `f(x) \ge 0.9`. L'interprétation finale s'appuie sur le sens de variation de `f` étudié en partie A.

Exercice 2 : Dénombrement et Variable Aléatoire (Tirages de boules) - 8 points

Ce deuxième exercice aborde le dénombrement dans une situation de tirages successifs sans remise, puis l'étude d'une variable aléatoire discrète.

• Question 1 : Dénombrement et permutations. On tire successivement et sans remise 7 boules (5 noires, 2 rouges). Le nombre total de tirages est `7!`. La question consiste à dénombrer des issues spécifiques en utilisant le principe multiplicatif. Par exemple, pour que la première boule rouge soit en troisième position, il faut tirer deux noires, puis une rouge, puis les boules restantes. Le nombre de cas est `(5 \times 4) \times 2 \times 4!`.
• Question 2 : Loi de probabilité et paramètres d'une variable aléatoire.
  • a. Définition de la loi de probabilité. On définit `X` comme la variable aléatoire égale au rang de la première boule rouge tirée. Il faut déterminer son univers-image (les valeurs possibles pour `X`) et calculer `P(X=k)` pour chaque valeur `k` en utilisant les techniques de dénombrement de la question précédente. Par exemple, `P(X=1) = \frac{2 \times 6!}{7!} = \frac{2}{7}`.
  • b. Calcul de l'espérance et de l'écart-type. Une fois la loi de probabilité établie, il faut calculer l'espérance mathématique `E(X) = \sum x_i p_i` et l'écart-type `\sigma(X) = \sqrt{V(X)}`, où la variance `V(X) = E(X^2) - (E(X))^2`. Cette question évalue la maîtrise des formules et des calculs liés aux variables aléatoires.