Ce contrôle de mathématiques pour la classe de Terminale spécialité est une évaluation complète portant sur trois chapitres fondamentaux du programme : le dénombrement, les limites de suites, et l'étude de suites incluant le raisonnement par récurrence. D'une durée de 2 heures, ce sujet corrigé est un excellent entraînement pour les élèves visant à maîtriser des concepts clés en vue du baccalauréat. Vous trouverez ici une analyse détaillée de chaque exercice, mettant en lumière les compétences et les méthodes de résolution attendues.

Exercice 1 : Dénombrement et Probabilités (5 points)

Cet exercice aborde les bases du dénombrement et leur application au calcul de probabilités dans un contexte concret de composition de tenues de randonnée. Il teste la capacité à modéliser une situation et à utiliser les principes fondamentaux du comptage pour déterminer le nombre de possibilités.

• Question 1 : Il s'agit de déterminer le nombre total de tenues possibles. Une tenue étant un couple (haut, bas), on applique le principe multiplicatif. Avec 15 hauts et 18 bas, le nombre de tenues est simplement le produit \(15 \times 18 = 270\).
• Question 2 : Cette question introduit une contrainte : le randonneur refuse les fibres synthétiques. Il faut d'abord dénombrer les articles qui ne sont pas en synthétique (9 hauts et 11 bas) puis appliquer à nouveau le principe multiplicatif pour trouver le nombre de tenues correspondantes : \(9 \times 11 = 99\).
• Question 3 : On entre dans le domaine des probabilités. L'univers est l'ensemble des 270 tenues possibles. On cherche la probabilité d'un événement : "la tenue est entièrement en coton". On dénombre les cas favorables (4 hauts en coton \(\times\) 8 bas en coton = 32 tenues) et on calcule le quotient \(P(\text{Coton}) = \frac{32}{270}\), à simplifier.
• Question 4 : Une question plus subtile qui demande la probabilité que les deux pièces soient de matières différentes. Il est plus simple de calculer la probabilité de l'événement contraire ("les deux pièces sont de la même matière") puis de la soustraire à 1. On calcule le nombre de tenues coton-coton, mérinos-mérinos et synthétique-synthétique, on les additionne, on calcule la probabilité correspondante, et enfin on applique la formule \(P(A) = 1 - P(\bar{A})\).
• Question 5 et 6 : Ces questions portent sur un autre type de dénombrement : le choix d'écussons parmi 8 motifs, où l'ordre ne compte pas et les répétitions sont possibles (tirage avec remise). Pour 2 écussons, on doit trouver le nombre de paires \(\{m_1, m_2\}\) où \(m_i\) est un motif. C'est un problème de combinaisons avec répétition. La formule est \(\binom{n+k-1}{k}\). Pour k=2, on a \(\binom{8+2-1}{2} = \binom{9}{2} = 36\) choix. Pour k=3, on a \(\binom{8+3-1}{3} = \binom{10}{3} = 120\) choix.

Exercice 2 : Calcul de Limites de Suites (6 points)

Cet exercice se concentre sur les techniques de calcul de limites pour différentes formes de suites, notamment les formes indéterminées polynomiales et les suites faisant intervenir le théorème des gendarmes.

• Limite a : \(\lim_{n \to +\infty} (5+2n^3)(1-n^2)\). Il s'agit de la limite d'un produit de deux suites. En considérant les termes de plus haut degré, la limite est celle de \((2n^3)(-n^2) = -2n^5\), qui tend vers \(-\infty\).
• Limite b : \(\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^4+3}{n^2-5n^4}\). C'est une forme indéterminée du type "\(\frac{\infty}{\infty}\)". La technique classique consiste à factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur : \( \frac{n^4(2+3/n^4)}{n^4(1/n^2-5)} \). Après simplification, la limite des termes de plus haut degré est \(\frac{2}{-5}\).
• Limite c : \(\lim_{n \to +\infty} (\frac{750}{n})^n\). Cette forme est plus complexe. L'énoncé guide vers l'utilisation du théorème des gendarmes. On montre que pour \(n\) assez grand (ici \(n > 750\)), on a l'encadrement \(0 \le \frac{750}{n} < 1\). En utilisant un majorant plus strict comme \(1/2\) pour \(n > 1500\), on obtient \(0 \le (\frac{750}{n})^n \le (\frac{1}{2})^n\). Comme la suite géométrique \((\frac{1}{2})^n\) tend vers 0, la limite cherchée est également 0.

Exercice 3 : Étude d'une Suite Arithmético-Géométrique (9 points)

Cet exercice très complet est un problème classique sur les suites, modélisant l'évolution du stock de livres d'une médiathèque. Il mobilise le raisonnement par récurrence, l'étude de la convergence et l'utilisation d'une suite auxiliaire pour trouver une forme explicite.

• Question 1 : Modélisation de la situation par la suite récurrente \(u_{n+1} = 0.85 u_n + 300\). Une baisse de 15% correspond à un coefficient multiplicateur de \(1-0.15 = 0.85\), suivi de l'ajout de 300 livres.
• Partie A :
  • Question 3 : Démontrer par récurrence que \(u_n \le 2000\). C'est une application directe de la méthode : initialisation (vérifier pour \(n=0\)), hérédité (supposer la propriété vraie au rang \(n\) et la démontrer au rang \(n+1\)) et conclusion.
  • Question 4 : Prouver que la suite est croissante en étudiant le signe de \(u_{n+1} - u_n = -0.15 u_n + 300\). En utilisant le résultat de la question 3 (\(u_n \le 2000\)), on montre que cette différence est positive.
  • Question 5 : La suite \((u_n)\) est croissante et majorée (par 2000), elle converge donc d'après le théorème de la limite monotone.
  • Question 6 : Compléter un algorithme Python qui détermine à partir de quel rang la suite dépasse un seuil. C'est un exercice de logique algorithmique qui nécessite une boucle "while".
• Partie B :
  • Question 7 : Introduction d'une suite auxiliaire \(w_n = u_n - 2000\) pour se ramener à une suite géométrique. On montre que \(w_{n+1} = 0.85 w_n\), prouvant que \((w_n)\) est une suite géométrique de raison 0.85.
  • Question 8 : Détermination de la forme explicite de \(u_n\) en passant par celle de \(w_n\). On trouve \(u_n = 2000 + (a-2000) \times 0.85^n\).
  • Question 9 : Calcul de la limite de \((u_n)\). Comme \(|0.85|<1\), la limite de \(0.85^n\) est 0, donc la limite de \((u_n)\) est 2000, indépendamment de la valeur initiale.
  • Question 10 & 11 : Étude du sens de variation en fonction de la valeur initiale \(a\) et interprétation du résultat dans le contexte du problème : le nombre de livres tend à se stabiliser à 2000, quel que soit le point de départ.