Obtenez le corrigé détaillé de ce sujet de Bac Blanc de mathématiques pour la Terminale Spécialité. Ce contrôle complet de 4 heures, avec calculatrice autorisée, balaye les chapitres majeurs du programme : étude de fonctions (logarithme, exponentielle), analyse de suites, probabilités (conditionnelles et loi binomiale), géométrie dans l'espace et équations différentielles. Idéal pour des révisions approfondies avant l'épreuve finale du baccalauréat.

Exercice 1 : Étude de fonction logarithme et analyse d'une suite (14 points)

Cet exercice est une étude de fonction très classique, couplée à l'analyse d'une suite récurrente, un incontournable du bac. Il se divise en deux parties.

• Partie A : Étude de fonction. On étudie la fonction \( f \) définie sur \( ]-1; +\infty[ \) par \( f(x) = 1 + \ln(1+x) \). Le travail commence par le calcul de la dérivée pour déterminer le sens de variation, suivi de la recherche des limites aux bornes de l'ensemble de définition. La convexité de la fonction est ensuite analysée via l'étude du signe de la dérivée seconde. Une fonction auxiliaire \( g(x) = f(x) - x \) est introduite pour étudier la position relative de la courbe de \( f \) et de la droite d'équation \( y=x \). L'application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) permet de démontrer l'existence et l'unicité de solutions à l'équation \( g(x) = 0 \). L'exercice se termine par l'analyse d'un algorithme en Python (méthode de dichotomie) visant à trouver un encadrement d'une des solutions.
• Partie B : Étude d'une suite. On s'intéresse à la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 2 \) et \( u_{n+1} = f(u_n) \). Il s'agit de démontrer par récurrence que la suite est bornée, puis d'étudier sa monotonie et sa convergence en utilisant le théorème de la limite monotone. La limite de la suite est ensuite déterminée en résolvant l'équation du point fixe \( f(l) = l \).

Exercice 2 : Probabilités conditionnelles et loi binomiale (9 points)

Ce deuxième exercice aborde le chapitre des probabilités à travers une situation concrète de tirs au basket-ball. Il permet de réviser les arbres de probabilités, la loi binomiale et le calcul d'espérance.

• La première partie s'intéresse à un unique tir. Il faut construire un arbre pondéré pour modéliser la situation, puis calculer la probabilité d'une intersection d'événements. L'utilisation de la formule des probabilités totales est nécessaire pour trouver la probabilité de réussir un tir. Enfin, un calcul de probabilité conditionnelle est demandé, ce qui implique d'inverser le conditionnement.
• La deuxième partie modélise une série de 10 tirs indépendants. Il faut justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale et en préciser les paramètres \( n \) et \( p \). Le calcul et l'interprétation de l'espérance mathématique sont demandés. S'ensuivent des calculs de probabilités classiques pour une loi binomiale : \( P(X=k) \), \( P(X \le k) \), \( P(X \ge k) \) ainsi qu'une probabilité conditionnelle \( P(A|B) \).
• La dernière question est un problème de seuil : déterminer le nombre minimal de tirs \( n \) pour que la probabilité d'obtenir au moins un succès dépasse 0,99.

Exercice 3 : Géométrie dans l'espace (7 points)

Cet exercice est un problème de géométrie vectorielle et analytique dans l'espace. Le contexte est la modélisation d'une maison dans un repère orthonormé \( (A; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \).

Les questions portent sur la détermination de coordonnées de points, la recherche d'une équation cartésienne d'un plan à partir d'un vecteur normal, et le calcul d'un angle géométrique (\( \widehat{EIF} \)) en utilisant la formule du produit scalaire avec les coordonnées. La seconde partie du problème concerne l'intersection d'une droite et d'un plan. Il faut établir une représentation paramétrique de la droite \( \Delta \), puis calculer les coordonnées de son point d'intersection avec un plan de la maison. La dernière question consiste à vérifier si ce point d'intersection appartient à une arête spécifique, ce qui revient à vérifier des conditions sur ses coordonnées.

Exercice 4 : Équation différentielle et lecture graphique (10 points)

Le dernier exercice porte sur les équations différentielles et l'étude de fonction exponentielle, avec une première partie basée sur l'exploitation d'un graphique.

• Partie A : Équation différentielle. À partir de la représentation graphique d'une fonction \( f \) et de sa tangente au point d'abscisse 0, il faut lire graphiquement les valeurs de \( f(0) \) et du nombre dérivé \( f'(0) \). Ces valeurs permettent ensuite de déterminer les paramètres \( a \) et \( b \) de la fonction définie par \( f(x) = e^x + ax + be^{-x} \). La suite de l'exercice est consacrée à la résolution de l'équation différentielle \( (E): y' + y = 2e^x - x - 1 \). Il faut d'abord vérifier qu'une fonction donnée est une solution particulière de \( (E) \), puis résoudre l'équation homogène associée \( y' + y = 0 \), et enfin en déduire l'ensemble des solutions de l'équation complète \( (E) \).
• Partie B : Étude de la fonction solution. Cette partie consiste en une étude de la fonction \( g \) solution de \( (E) \). Après avoir vérifié une identité algébrique, il faut calculer la dérivée \( g'(x) \), l'étudier son signe (impliquant l'étude du signe d'expressions avec exponentielle) et dresser le tableau de variations complet de \( g \) sur \( \mathbb{R} \).