Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la Terminale spécialité est une excellente ressource pour réviser trois chapitres fondamentaux du programme : le dénombrement, les limites de fonctions, et l'étude de la dérivation et de la convexité. Conçu pour une durée de 1h30, ce devoir balaye des compétences clés à travers des exercices variés, allant de la question de cours théorique à l'étude complète d'une fonction, en passant par un QCM et un problème concret de combinatoire. C'est un outil idéal pour s'entraîner en conditions réelles et valider sa compréhension des notions essentielles avant une évaluation. Ce sujet corrigé vous permettra d'identifier vos points forts et vos axes d'amélioration.

Question de cours : Relation de Pascal

L'épreuve débute par une question de cours demandant la démonstration de la relation de Pascal. Il s'agit de prouver que pour tout entier naturel \(n \ge 2\) et tout entier \(k\) tel que \(1 \le k \le n-1\), on a :

$$ \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} $$

Cette question teste la capacité à manipuler les coefficients binomiaux et à mener une démonstration, que ce soit par le calcul avec les factorielles ou par un raisonnement combinatoire.

Exercice 1 : QCM de Dénombrement

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples qui évalue la maîtrise des différentes techniques de dénombrement.

• Tirage de jetons : La première question porte sur un tirage simultané de 3 jetons dans un sac contenant des jetons de différentes couleurs. Il faut savoir utiliser les combinaisons pour calculer le nombre de possibilités :
  • Pour tirer 3 jetons de la même couleur, on additionne les combinaisons possibles pour chaque couleur : \(\binom{4}{3} + \binom{3}{3}\).
  • Pour tirer 3 jetons de couleurs différentes, on applique le principe multiplicatif : \(\binom{4}{1} \times \binom{2}{1} \times \binom{3}{1}\).
• Tirage de cartes : La deuxième question compare deux modes de tirage :
  • Un tirage successif et sans remise, qui relève des arrangements (\(A_{32}^2\)).
  • Un tirage simultané, qui relève des combinaisons (\(\binom{n}{k}\)). La difficulté est de bien déterminer le cardinal de l'ensemble de départ (cartes qui ne sont ni des as, ni des piques).
• Formation de nombres : La dernière question demande de dénombrer les nombres de 5 chiffres formés à partir de 5 jetons. Ce cas correspond à une permutation de 5 éléments, soit \(5!\).

Exercice 2 : Problème de Dénombrement avec des Assiettes

Cet exercice approfondit les compétences en dénombrement dans un contexte concret. On tire simultanément 4 assiettes parmi 12.

• Calcul du cardinal de l'univers : La première question consiste à calculer le nombre total de tirages possibles, ce qui se fait avec une simple combinaison : \(\binom{12}{4}\).
• Calcul de cardinaux d'événements : Il faut ensuite calculer le nombre de cas favorables pour différents événements, ce qui mobilise à la fois les combinaisons et le principe multiplicatif. Par exemple :
  • A : « les quatre assiettes ont un numéro pair » : On choisit 4 assiettes parmi les 6 paires : \(\binom{6}{4}\).
  • B : « deux assiettes exactement ont un numéro pair » : On combine le choix de 2 assiettes paires et 2 impaires : \(\binom{6}{2} \times \binom{6}{2}\).
  • D : « une seule assiette a un décor avec un bleuet » : On choisit 1 assiette parmi les 5 à bleuet et 3 parmi les 7 autres : \(\binom{5}{1} \times \binom{7}{3}\).

Exercice 3 : Étude Graphique d'une Fonction

Cet exercice court est un excellent test de lecture et d'interprétation graphique. À partir des tableaux de signes de la dérivée première \(f'\) et de la dérivée seconde \(f''\), il faut esquisser l'allure de la courbe de la fonction \(f\). Cela nécessite de savoir que :

• Le signe de \(f'(x)\) donne les variations de \(f\) (croissante ou décroissante).
• Les points où \(f'(x)=0\) correspondent à des tangentes horizontales.
• Le signe de \(f''(x)\) détermine la convexité de la courbe (\(f\) est convexe si \(f''>0\), concave si \(f''<0\)).
• Un changement de signe de \(f''(x)\) indique un point d'inflexion.

Exercice 4 : Étude Complète d'une Fonction Exponentielle

L'exercice le plus complet du sujet, portant sur la fonction \(f(x) = x^2 e^{-x+1}\). Il s'agit d'une étude de fonction classique mais exhaustive.

• 1. Limites : Calcul des limites aux bornes de l'ensemble de définition (\(\mathbb{R}\)). Cela implique la maîtrise des limites avec exponentielle, notamment les théorèmes de croissance comparée pour lever la forme indéterminée en \(+\infty\).
• 2. Dérivée et variations : Il faut calculer la dérivée \(f'(x)\) en utilisant la dérivée d'un produit de fonctions. L'étude du signe de \(f'(x)\) permet ensuite de dresser le tableau de variations complet de \(f\).
• 3. Équation de la tangente : Application directe de la formule \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\) pour trouver l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 4.
• 4. Convexité et points d'inflexion : Cette question demande de dériver une seconde fois pour obtenir \(f''(x)\). L'étude du signe de cette dérivée seconde permet de déterminer les intervalles de convexité/concavité de la courbe et de trouver les coordonnées des éventuels points d'inflexion.