Ce contrôle corrigé de mathématiques pour la classe de Première spécialité est un excellent outil de révision. Il aborde en profondeur les chapitres sur les suites arithmétiques et géométriques ainsi que sur la dérivation globale et ses applications. Ce sujet de maths est conçu pour évaluer la capacité à modéliser des situations concrètes, à analyser des suites et des fonctions, et à résoudre des problèmes d'optimisation.

Exercice 1 : Comparaison de contrats de mutuelle (Suites)

Cet exercice met en scène une situation économique classique, la comparaison de deux offres commerciales. Il est divisé en trois parties et permet de travailler toutes les facettes des suites numériques vues en première.

• Partie A : Étude d'une offre à augmentation fixe. Il s'agit de modéliser l'évolution du prix par une suite arithmétique \((u_n)\) de premier terme \(u_0 = 300\) et de raison \(r = 10\). Les questions portent sur :
  • La détermination des premiers termes.
  • L'expression du terme général \(u_n\) en fonction de \(n\).
  • Le calcul d'un terme lointain (prix en 2030).
  • Le calcul de la somme des 25 premiers termes, représentant le coût total sur 25 ans.
• Partie B : Étude d'une offre à augmentation en pourcentage. Cette fois, l'évolution du prix est modélisée par une suite géométrique \((v_n)\) de premier terme \(v_0 = 300\) et de raison \(q = 1.02\). Les questions sont similaires à la partie A, évaluant la maîtrise des formules spécifiques aux suites géométriques, notamment la somme des termes.
• Partie C : Algorithmique. Il est demandé de compléter un programme en langage Python qui utilise une boucle `while` pour déterminer l'année où le coût de la mutuelle B dépassera celui de la mutuelle A. Cela teste la logique algorithmique et la manipulation de suites.

Exercice 2 : Évolution du nombre d'abonnés (Suite arithmético-géométrique)

Cet exercice aborde un cas plus complexe : les suites arithmético-géométriques. Il modélise l'évolution du nombre d'abonnés d'un youtubeur par la relation de récurrence \(U_{n+1} = 0.6 U_n + 100\).

• La première partie consiste à calculer les premiers termes et à conjecturer le comportement de la suite à long terme (sa limite).
• La seconde partie est une méthode guidée classique pour étudier ce type de suite. On introduit une suite auxiliaire \((V_n)\) définie par \(V_n = U_n - 250\). Il faut :
  • Démontrer que \((V_n)\) est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme.
  • En déduire l'expression explicite de \(V_n\), puis celle de \(U_n\) en fonction de \(n\).
  • Conclure sur le sens de variation de la suite \((U_n)\).

Exercice 3 : Optimisation d'aire (Dérivation)

Cet exercice est un problème complet d'optimisation, une application majeure de la dérivation. L'objectif est de trouver la position d'un point \(M\) sur une parabole d'équation \(y = -\frac{1}{2}x^2 + 8\) pour que l'aire d'un triangle \(AMN\) soit maximale.

La résolution se fait en plusieurs étapes :

1. Trouver les coordonnées des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.
2. Exprimer les dimensions du triangle (base \(AN\) et hauteur \(MN\)) en fonction de l'abscisse \(x\) du point \(M\).
3. Montrer que l'aire du triangle peut être modélisée par la fonction \(f(x) = -\frac{1}{4}x^3 - x^2 + 4x + 16\) sur l'intervalle \([-4; 4]\).
4. Réaliser une étude de fonction complète :
   • Calculer la fonction dérivée \(f'(x)\).
   • Étudier le signe de la dérivée, qui est un polynôme du second degré.
   • Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\).
5. Conclure en donnant la valeur de \(x\) pour laquelle l'aire est maximale.

Exercice 4 : Étude d'une fonction rationnelle (Vrai/Faux)

Le dernier exercice est une analyse détaillée d'une fonction rationnelle \(f(x) = \frac{x^2 + 3x + 9}{3x}\) sous forme de propositions Vrai/Faux à justifier. Chaque question teste une compétence précise de l'étude de fonction.

• Proposition a : Existence d'une tangente horizontale. Il faut calculer la dérivée \(f'(x)\) et résoudre l'équation \(f'(x) = 0\).
• Proposition b : Sens de variation de la fonction. Cela demande une étude complète du signe de la dérivée \(f'(x)\) sur l'intervalle \(]0; +\infty[\).
• Proposition c : Existence d'un minimum global. En utilisant le tableau de variation, il faut vérifier si la fonction est minorée et si la valeur proposée est bien le minimum.
• Proposition d : Détermination de l'équation d'une tangente en un point précis. Il s'agit d'appliquer la formule \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\) avec \(a=6\).

Ce sujet de contrôle corrigé pour la première spécialité est donc un excellent entraînement pour maîtriser les suites et la dérivation.