Introduction
Allez les amis, c'est parti pour apprendre à reconnaître avec 100 % de réussite les suites arithmétiques et les suites géométriques. J'aimerais que vous reteniez ceci : une suite arithmétique, c'est une suite pour laquelle on passe d'un terme au suivant en rajoutant toujours le même nombre. Une suite géométrique, c'est une suite pour laquelle on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre. Autrement dit, pour une suite arithmétique, sa forme récurrente c'est \(u_{n+1} = u_n + r\) pour une suite géométrique, sa forme récurrente c'est \(u_{n+1} = u_n \times q\). Ce \(r\) ou \(q\), c'est quelque chose qu'on ajoute ou multiplie, ça s'appelle la raison d'une suite. C'est un nombre réel, c'est à dire que c'est toujours, toujours, toujours le même nombre.
Exemples de suites
Prenons quelques exemples.
1. \(u_{n+1} = u_n + 22.5\). Pour avoir le terme suivant, je prends le terme précédent et je rajoute 22.5. Si je rajoute toujours le même nombre, j'ai bien l'impression que ça c'est la raison et que du coup, c'est une suite arithmétique.
2. \(u_{n+1} = 63u_n + 2\). Pour avoir le terme suivant, je prends le terme précédent, je multiplie par 63 et j'ajoute 2. J'ai envie de me dire que c'est une suite géométrique car je passe bien du terme précédent au terme suivant en multipliant par 63. Sauf que non, à cause du "+2". Donc cette suite là n'est ni arithmétique, ni géométrique.
3. \(v_{n+1} = v_n + \frac{1}{n}\). Ça ressemble à une suite arithmétique, sauf que pour que ça soit une suite arithmétique, il faut que ce que vous ajoutiez à chaque fois soit toujours le même. Or ici, la première fois vous allez ajouter 1, la deuxième fois vous allez ajouter 1/2, la troisième fois 1/3, et ainsi de suite. Donc chaque fois que vous calculez le terme suivant, vous changez le nombre que vous ajoutez. Donc cette suite là n'est ni arithmétique, ni géométrique.
4. \(v_{n+1} = \frac{2}{7}v_n\). Ici, pour passer du terme précédent au terme suivant, je multiplie toujours par le même nombre réel, soit 2/7. Donc là, on est face à une suite géométrique de raison 2/7.
Application à des problèmes concrets
Dans le contrôle, ce qu'on va vous demander de faire, c'est d'être capable de prendre une petite histoire et de la transformer en suite. Par exemple :
1. J'ai un compte en banque sur lequel je mets 10 euros par mois. Donc le mois suivant, j'ai ce que j'avais le mois précédent auquel j'ai rajouté 10 euros. Donc pour passer d'un mois à l'autre, qu'est-ce que je fais ? Je rajoute 10 euros. Donc on est bien dans le premier cas, c'est à dire une suite arithmétique de raison 10.
2. Une population de lapins qui double tous les mois. Donc le premier mois, j'ai 100 lapins. Pour savoir combien j'en aurai le mois suivant, je multiplie par 2. Pour savoir combien j'en aurai le 3ème mois, je multiplie encore par 2. Donc on est bien face à une suite géométrique de raison 2.
Entraînez-vous, car il y a plein de pièges. Par exemple, \(v_n = q^{n-1}\). Vous pourriez penser que ce n'est pas une suite géométrique parce que ça ne ressemble pas à \(u_{n+1} = qu_n\). Sauf qu'en fait, si. Car cette phrase là, \(u_{n+1} = qu_n\), il faut que vous la compreniez comme "le terme suivant égale le terme précédent fois \(q\)". Donc \(v_n\) est bien le terme suivant par rapport à \(v_{n-1}\). Pour avoir le terme suivant, je prends le terme précédent et je le multiplie toujours par \(q\). Donc c'est une suite géométrique de raison \(q\).