Découvrez le corrigé détaillé du sujet de maths 36, un contrôle d'une heure destiné aux élèves de Première spécialité. Ce sujet, avec calculatrice autorisée, porte sur deux chapitres clés du programme : les suites arithmétiques et géométriques, ainsi que la dérivation globale et ses applications. Ce document est une ressource idéale pour s'entraîner, réviser et valider ses compétences en vue des évaluations.

Ce contrôle est structuré en six exercices variés qui permettent de balayer l'ensemble des notions importantes. Vous y trouverez des exercices de base sur les suites, des problèmes de modélisation, des études de fonctions complètes pour l'optimisation, ainsi que des questions d'analyse graphique. Chaque exercice est conçu pour tester des savoir-faire spécifiques, de la simple application des formules à la résolution de problèmes plus complexes.

Exercice 1 : Maîtrise des suites géométriques

Cet exercice est un classique sur les suites géométriques. On vous donne une suite \( (v_n) \) définie sur \( \mathbb{N} \). On ne connaît ni son premier terme \( v_0 \), ni sa raison \( q \), mais on sait que \( v_2 = 75 \) et \( v_5 = -9375 \). L'objectif est de retrouver les éléments caractéristiques de la suite :

• Déterminer la raison q : Il faut ici utiliser la formule de passage d'un terme à un autre dans une suite géométrique, à savoir \( v_n = v_p \cdot q^{n-p} \). En l'appliquant avec \( n=5 \) et \( p=2 \), on obtient une équation simple d'inconnue \( q \).
• Déterminer le premier terme v_0 : Une fois la raison \( q \) trouvée, on peut utiliser l'un des termes connus (par exemple \( v_2 \)) et la formule du terme général \( v_n = v_0 \cdot q^n \) pour isoler et calculer \( v_0 \).

Exercice 2 : Modélisation avec une suite géométrique

Cet exercice aborde un problème concret : la diminution des importations de pétrole en France. C'est un excellent exemple de l'application des suites à la modélisation de phénomènes évolutifs. On note \( u_n \) le montant, en millions de tonnes, des importations de pétrole en 2010 + n, avec \( u_0 = 85,6 \). Les importations diminuent de 8% par an.

• 1) Justification de la nature de la suite : Il s'agit de traduire une diminution de 8% en un coefficient multiplicateur, ce qui permet de montrer que l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par une constante. C'est la définition même d'une suite géométrique de raison \( q = 1 - \frac{8}{100} = 0,92 \).
• 2) Calcul de \( u_1 \) : Application directe de la relation de récurrence.
• 3) Calcul et interprétation de \( u_9 \) : Utilisation de la forme explicite \( u_n = u_0 \cdot q^n \) pour calculer la valeur des importations en 2019 et donner une signification concrète à ce résultat.
• 4) Calcul et interprétation d'une somme : Il est demandé de calculer la somme \( S = u_0 + u_1 + \dots + u_9 \). Cela requiert l'utilisation de la formule de la somme des premiers termes d'une suite géométrique. L'interprétation de cette somme correspond à la quantité totale de pétrole importée entre 2010 et 2019.

Exercice 3 : Vrai ou Faux sur la nature des suites

Cet exercice rapide teste la capacité à reconnaître la nature arithmétique ou géométrique d'une suite à partir de son expression explicite. Une justification rigoureuse est demandée.

• Affirmation 1 : La suite \( (u_n) \) définie par \( u_n = \frac{7}{2}n + \frac{23}{8} \) est-elle arithmétique ? Pour le prouver, on calcule la différence \( u_{n+1} - u_n \) et on vérifie si elle est constante.
• Affirmation 2 : La suite \( (w_n) \) définie par \( w_n = \frac{4^{2n+1}}{3^n} \) est-elle géométrique ? La méthode consiste à calculer le quotient \( \frac{w_{n+1}}{w_n} \) et à vérifier s'il est constant. Une manipulation des puissances est nécessaire.

Exercice 4 : Problème d'optimisation

Cet exercice est une application complète de la dérivation pour l'étude de fonctions. On étudie une fonction \( B(x) = -2x^3 + 54x^2 - 270x + 480 \) qui modélise le bénéfice d'une société en fonction du nombre \( x \) de véhicules loués. L'étude se fait sur l'intervalle \( [1; 20] \).

• 1) Calcul de la dérivée B'(x) : Il s'agit de dériver un polynôme du troisième degré, ce qui donne un polynôme du second degré.
• 2) Étude des variations de B : Cette question classique nécessite d'étudier le signe de la dérivée \( B'(x) \). On calcule donc le discriminant du trinôme, on trouve ses racines, puis on dresse le tableau de signe de \( B'(x) \) pour en déduire le tableau de variation de \( B \).
• 3) Recherche du bénéfice maximal : Grâce au tableau de variation, on identifie la valeur de \( x \) pour laquelle le bénéfice est maximal (recherche d'un extremum) et on calcule la valeur de ce bénéfice.

Exercice 5 : Calcul de dérivées

Cet exercice vise à vérifier la maîtrise des formules de dérivation des fonctions usuelles (inverse et racine carrée).

• 1) Dérivée de \( f(x) = \frac{3}{x} \) : Application directe de la formule de la dérivée de \( k \cdot \frac{1}{u} \).
• 2) Dérivée de \( f(x) = 7 - 4\sqrt{x} \) : Dérivation d'une somme, avec une constante et la fonction racine carrée.
• Bonus : Préciser l'ensemble de dérivabilité pour chaque fonction, une notion importante souvent liée à l'ensemble de définition.

Exercice 6 : Lecture graphique du nombre dérivé

Le dernier exercice est une évaluation de la capacité à interpréter graphiquement le nombre dérivé. À partir de la courbe \( C_f \) d'une fonction \( f \) et de quelques tangentes, il faut extraire des informations sur la dérivée \( f' \).

• 1) Déterminer \( f'(5) \) et \( f'(0) \) : On se souvient que le nombre dérivé en un point est le coefficient directeur de la tangente en ce point.
  • Pour \( f'(5) \), la tangente au point d'abscisse 5 est horizontale, son coefficient directeur est donc nul.
  • Pour \( f'(0) \), la tangente passe par deux points connus A et E. On calcule son coefficient directeur à l'aide de la formule \( \frac{y_E - y_A}{x_E - x_A} \).
• 2) Résolution graphique de \( f'(x) \ge 0 \) : Il s'agit de trouver les intervalles où les tangentes à la courbe ont un coefficient directeur positif ou nul, ce qui correspond aux intervalles où la fonction \( f \) est croissante.