Analyse du sujet de mathématiques - Première Spécialité

Ce contrôle de mathématiques pour le niveau Première spécialité, d'une durée d'une heure, est centré sur le chapitre de la dérivation globale et l'étude de fonctions. Il évalue la capacité des élèves à manipuler les outils de l'analyse, depuis la détermination des ensembles de définition jusqu'à l'interprétation graphique complète. Ce sujet est un excellent entraînement pour maîtriser les techniques de dérivation et comprendre leur application dans l'étude des variations et des propriétés géométriques des courbes. Il contient un exercice sur les calculs de base et un problème plus complet sur une étude de fonction rationnelle.

Exercice 1 : Maîtrise des techniques de dérivation (4 points)

Cet exercice introductif a pour but de vérifier les savoir-faire fondamentaux en matière de dérivation. Il se compose de deux parties :

• Fonction rationnelle : Il est demandé de travailler sur la fonction \(h(x) = \frac{x^2 - 4x + 8}{2x - 5}\). L'élève doit d'abord déterminer l'ensemble de définition en excluant la valeur qui annule le dénominateur, puis l'ensemble de dérivabilité qui est identique. Ensuite, il faut appliquer la formule de la dérivée d'un quotient de fonctions, de type \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
• Fonction produit avec racine carrée : La seconde fonction est \(i(x) = (3x - 4)\sqrt{x}\). Ici, l'élève doit identifier que l'ensemble de définition est \([0, +\infty[\) et que l'ensemble de dérivabilité est \(]0, +\infty[\) car la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0. Le calcul de la dérivée nécessite l'application de la formule de la dérivée d'un produit, de type \((uv)' = u'v + uv'\).

Exercice 2 : Étude approfondie d'une fonction (16 points)

Ce second exercice est un problème complet d'analyse qui guide l'élève à travers toutes les étapes de l'étude de la fonction \(f(x) = \frac{-x^2 + 4x - 7}{x - 1}\).

• 1. Simplification de l'écriture : La première question demande de montrer que \(f(x)\) peut s'écrire sous la forme \(f(x) = -x + 3 - \frac{4}{x - 1}\). Cette forme est cruciale car elle met en évidence le comportement asymptotique de la fonction.
• 2. Position relative et asymptote oblique : En utilisant la forme précédente, on étudie la position de la courbe \(C_f\) par rapport à la droite \(\Delta\) d'équation \(y = -x + 3\). L'étude du signe de la différence \(f(x) - (-x+3)\) permet de conclure sur la position relative et de confirmer que \(\Delta\) est une asymptote oblique à la courbe.
• 3. Calcul de la dérivée : Il faut montrer que la fonction dérivée est \(f'(x) = \frac{-(x + 1)(x - 3)}{(x - 1)^2}\). Ce calcul peut se faire à partir de l'une ou l'autre des expressions de \(f(x)\). Le résultat est donné sous forme factorisée pour faciliter l'étape suivante.
• 4. Tableau de variations : L'étude du signe de \(f'(x)\) est demandée. Le signe de la dérivée dépend uniquement du signe du numérateur, qui est un polynôme du second degré. L'élève doit dresser un tableau de signes pour \(f'(x)\) puis en déduire le tableau de variations complet de la fonction \(f\), en précisant les extremums locaux.
• 5. Équation de la tangente : C'est une application directe du cours. Il faut calculer l'équation de la tangente à \(C_f\) au point d'abscisse 2 en utilisant la formule \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\) avec \(a=2\).
• 6. Existence d'une tangente de pente donnée : Cette question teste la capacité à résoudre un problème lié aux tangentes. On demande s'il existe une tangente de coefficient directeur égal à \(-1\). Cela revient à résoudre l'équation \(f'(x) = -1\).
• 7. & 8. Tracés graphiques : Pour finir, l'élève doit synthétiser toutes les informations collectées (variations, asymptote, tangente) pour tracer la courbe \(C_f\) et la droite \(\Delta\). La dernière question introduit une transformation simple, en demandant de tracer la courbe de \(g(x) = |f(x)|\), ce qui correspond à une symétrie par rapport à l'axe des abscisses pour les parties de la courbe situées sous cet axe.