Introduction
Allons-y pour trouver le maximum ou le minimum d'une aire avec des fonctions et des tableaux de variation. C'est un exercice que vous êtes quasiment sûr d'avoir au contrôle. On a une fonction \(h(x)\), on la trace, on insère un rectangle à l'intérieur de cette fonction et on vous demande de travailler sur l'aire de ce rectangle. Exprimez cette aire en fonction de \(x\), où \(x\) est ce point là. À quel intervalle appartient \(x\) et pour quelle valeur de \(x\) l'aire est maximale ?
Expression de l'aire en fonction de \(x\)
A priori, si vous avez bien travaillé, l'aire maximale, vous savez déjà que l'on va la traiter. On l'a même exprimée hier en rouge en fonction de \(x\). En se basant sur la géométrie, l'aire d'un rectangle c'est la grande longueur multipliée par la petite longueur. Ici, cette longueur vaut combien ? Quand je vais de 0 à \(x\), j'avance \(2x\) vu que c'est symétrique. Donc la grande longueur au total est \(2x\). La petite longueur, c'est la même que celle arrêtée par \(x\), sauf que pour avoir la valeur de ce point là, quand je pars de \(x\), je monte jusqu'à la fonction et je vais dire la valeur sur l'axe des ordonnées est littéralement \(f(x)\) que vous lisez ici, soit \(h(x)\). Maintenant, vous n'avez plus qu'à remplacer \(h(x)\) par la valeur qu'on vous a donné, soit \(2x \times (-x^2 + 9)\), autrement dit \(2x^3 + 18x\). Vous avez donc votre aire en fonction de \(x\), tout simplement.
Intervalle de \(x\) et maximisation de l'aire
Deuxième question, à quel intervalle appartient \(x\) ? Comme \(x\), on voit bien ici que pour que ça ait du sens, pour qu'il soit compris entre 0 (ce cas là) et 3 (ce cas là), donc la réponse à la question est tout simplement \(x \in [0,3]\).
On attaque les choses sérieuses. On va vous demander maintenant comment trouver la valeur de \(x\) pour que cet aire là soit maximale. On vous a fait exprimer l'aire en fonction de \(x\), donc vous avez l'aire en fonction de \(x\) qui vaut \(2x^3 + 18x\). Vous savez comment faire pour trouver le maximum d'une fonction, il faut faire son tableau de variation et déduire du tableau de variation si elle admet un maximum ou un minimum. C'est la compétence juste avant, donc on va le faire ici, on va dresser le tableau de variation de \(2x^3 + 18x\).
Pour dresser le tableau de variation, je vous répète les trois étapes : on dérive la fonction, on étudie le signe de la dérivée et ensuite on conclut. Donc \(h'(x)\) c'est la dérivée de \(2x^3 + 18x\), donc \(6x^2 + 18\). Je vais étudier son signe. Quel type de fonction est-ce ? Une fonction polynôme du second degré. Donc pour étudier son signe, je vais d'abord calculer \(\Delta\) qui vaut \(b^2 - 4ac\), donc ici zéro parce que je n'ai pas de terme en \(x\), c'est à dire le terme devant \(x\), donc ici \(\Delta = 0^2 - 4 \times -6 \times 18 = 432\).
Cela me donne tout de suite les deux racines qui sont \(x_1\) qui vaut \(-\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = -\frac{0 - \sqrt{432}}{2 \times -6} = \sqrt{3}\) et \(x_2\) qui vaut \(-\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = -\frac{0 + \sqrt{432}}{2 \times -6} = -\sqrt{3}\).
Maintenant, cette racine, je ne vais pas m'en occuper car elle est négative et \(x\) est défini comme appartenant à l'intervalle [0,3]. Donc forcément cette racine est en dehors de mon intervalle d'études. Elle ne m'intéresse pas. Par contre, \(\sqrt{3}\) est bien compris entre 0 et 3 donc c'est une valeur qui va m'intéresser.
Maintenant, connaissant les racines, je peux faire le tableau de signes. Donc je mets mon intervalle d'études \(x \in [0,3]\). \(h'(x)\) s'annule pour \(x = \sqrt{3}\). Le polynôme est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines, donc il est négatif après \(\sqrt{3}\) et positif avant \(\sqrt{3}\). Je peux en déduire tout de suite que l'aire \(A(x)\) commence par monter jusqu'à \(\sqrt{3}\) puis elle diminue.
Donc l'aire que vous voyez là fait ça : au début, quand \(x = 0\), elle vaut rien du tout, ensuite elle va augmenter jusqu'à un certain point, mais ensuite elle va redescendre jusqu'ici où vous voyez que l'aire devient de nouveau nulle. Donc le maximum de l'aire est atteint pour \(x = \sqrt{3}\).
Conclusion
C'est terminé, à vous de jouer. Ce ne sont pas des exercices simples. Ce qui est vraiment important, c'est de se souvenir que cette hauteur là est \(f(2x)\), donc c'est comme ça que vous intégrez \(f(x)\) à votre aire. On vous en a mis un autre en dessous avec des volumes, il est dur aussi, entraînez-vous.