Contrôle Corrigé de Mathématiques : Première Spécialité

Ce sujet d'évaluation de niveau Première spécialité est un excellent entraînement sur deux chapitres clés du programme : les probabilités conditionnelles et la dérivation de fonctions. D'une durée d'une heure, ce contrôle corrigé permet de valider des compétences essentielles à travers quatre exercices progressifs. Découvrez notre analyse détaillée pour préparer efficacement vos examens.

Exercice 1 : Probabilités Conditionnelles dans un Contexte d'Entreprise (8,5 points)

Cet exercice complet aborde une situation concrète d'entreprise pour tester en profondeur votre maîtrise des probabilités conditionnelles. On étudie la répartition des employés dans différents services et leur temps de trajet.

• Construction et lecture d'un arbre pondéré : La première étape consiste à modéliser la situation. Vous devrez calculer des probabilités initiales comme `p(A)` et utiliser les pourcentages donnés dans l'énoncé pour compléter les branches de l'arbre.
• Calcul d'intersections et probabilités totales : L'exercice vous demande de calculer la probabilité d'événements conjoints, par exemple `p(B \cap T)` (être du service B ET résider à moins de 30 min). Vous appliquerez ensuite la formule des probabilités totales pour déterminer `p(T)`, la probabilité globale de résider à moins de 30 minutes de l'entreprise.
• Probabilités conditionnelles inverses et indépendance : Les questions plus avancées testent votre capacité à "inverser" l'arbre. Vous devrez calculer des probabilités comme `p_{\bar{T}}(C)` (sachant qu'un employé habite loin, quelle est la probabilité qu'il soit du service C ?). Enfin, une question clé porte sur la notion d'indépendance des événements, vous amenant à comparer `p(A \cap T)` avec le produit `p(A) \times p(T)`.
• Calcul d'union : L'exercice se termine par le calcul de `p(A \cup T)`, mobilisant la formule de l'union d'événements.

Exercice 2 : Application de la Dérivation à l'Épidémiologie (4,5 points)

Cet exercice illustre l'application directe de l'étude de fonctions à un problème de modélisation. Le nombre de cas d'une épidémie est donné par la fonction polynôme `f(t) = -\frac{1}{6}t^3 + \frac{5}{2}t^2 + 28t`.

• Calcul d'image : La première question est un simple calcul d'image pour déterminer le nombre de malades à un instant `t` donné.
• Recherche d'extremum : La question centrale est de déterminer le "pic de l'épidémie". Cela revient à trouver le maximum de la fonction `f`. La méthode est classique : il faut calculer la fonction dérivée `f'(t)`, trouver les valeurs de `t` qui annulent cette dérivée (`f'(t)=0`), puis dresser le tableau de signe de `f'(t)` pour en déduire les variations de `f` et confirmer la présence d'un maximum.

Exercice 3 : Étude Complète d'une Fonction Polynôme (5,5 points)

Cet exercice est une étude de fonction classique mais complète, portant sur le polynôme `f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 5x - 3`.

• Calcul de dérivée : Vous commencerez par dériver ce polynôme du troisième degré pour obtenir `f'(x)`, un polynôme du second degré.
• Tableau de variations : L'étape suivante est l'étude du signe de la dérivée `f'(x)`. Cela implique de calculer son discriminant et ses racines pour construire un tableau de signe, qui vous donnera directement le tableau de variation de la fonction `f`.
• Analyse et justification : La dernière partie consiste à évaluer des affirmations (Vrai/Faux) sur le comportement de la fonction `f` sur différents intervalles. Pour y répondre, il faut interpréter rigoureusement le tableau de variation et, si nécessaire, calculer les images des bornes pour justifier chaque réponse.

Exercice 4 : Dérivation d'une Fonction Rationnelle (1,5 points)

Cet exercice rapide a pour unique objectif de vérifier la maîtrise d'une technique de calcul spécifique : la dérivation d'un quotient. À partir de la fonction `f(x) = \frac{2x - 3}{2x^2 + 1}`, vous devez appliquer la formule `(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}` pour trouver l'expression de `f'(x)`.