Exercice 1
Exercice 2

Introduction

Allons-y, cet exercice est important car je vous garantis que vous l'aurez au contrôle et il vaut au moins six points. Dans ce type d'exercice, on ne va pas attaquer tout de suite. En fait, on va vous raconter une petite histoire. Par exemple, je gère un barrage, j'ai gagné 5000 litres d'eau par jour, mais je perds 3% d'eau par évaporation, etc. Il y aura une petite histoire et vous allez arriver à une suite qui ressemble à ça. On va vous demander si cette suite est arithmétique ou géométrique. Ensuite, on va voir comment on va vous rajouter une autre suite. À partir de cela, vous allez montrer qu'elle est géométrique, vous allez en déduire \(v_n\) et vous allez en déduire \(u_n\). Le but final est de dégager une suite qui est définie de manière récurrente ou explicite.

Identification de la suite

On attaque donc la suite. Est-elle géométrique ou arithmétique ? Vous vous dites peut-être que vous passez du terme précédent aux termes suivants en multipliant par 3, donc elle est géométrique. Ou alors, vous vous dites que vous passez du terme précédent aux termes suivants en ajoutant 4, donc elle est arithmétique. En fait, cette suite n'est ni arithmétique ni géométrique, elle est arithméto-géométrique. Si elle était arithmétique ou géométrique, vous pourriez sauter directement à la question où l'on déduit \(u_n\) en fonction de \(n\), parce que quand vous avez une suite arithmétique ou géométrique, si vous connaissez son premier terme et sa raison, vous êtes capable de donner directement les expressions en fonction de \(n\).

Deuxième suite et conclusion

On en arrive à notre deuxième suite \(v_n\) qui vaut \(u_n + 2\). Ce serait trop beau si cette suite était arithmétique, mais on va montrer que \(v_n\) est géométrique. Pour montrer qu'une suite est géométrique, on part de \(v_{n+1}\), on travaille et à la fin, il faut obtenir quelque chose du type \(r \times v_n\), avec \(r\) qui est un nombre réel. En utilisant les formules, on arrive à montrer que \(v_{n+1} = 3 \times v_n\), donc la suite \(v_n\) est géométrique avec une raison égale à 3. On peut même donner le premier terme \(v_0\) qui vaut \(u_0 + 2\). En utilisant cette formule pour \(v_n\), on trouve la raison et le premier terme. En déduisant \(v_n\) en fonction de \(n\), on obtient \(v_n = v_0 \times 3^n\). En déduisant \(u_n\) en fonction de \(n\), on obtient \(u_n = 3^n - 2\). Cet exercice est vraiment beau, c'est compliqué, il faut mettre de la couleur et se reformer pour s'en sortir. Surtout, il faut le faire. C'est un classique du contrôle, donc entraînez-vous à le faire. Si vous galérez, fichez-le et apprenez-le par cœur. Les difficultés sont vraiment ici, c'est-à-dire quand il faut penser à remplacer \(u_n\) dans cette formule en envoyant \(2\) de l'autre côté. Regardez la vidéo autant de fois qu'il le faudra, refaites l'exercice, à vous de jouer.