7. Calculer une somme de terme de suites arithmétiques

Introduction

Bonjour à tous, nous allons apprendre à calculer très rapidement les sommes des termes d'une suite arithmétique. Pour calculer les sommes de termes d'une suite arithmétique, vous avez une formule : le nombre de termes multiplié par la somme du premier et du dernier terme, le tout divisé par deux. Voyons comment cela fonctionne.

Calcul du nombre de termes

Pour le calcul du nombre de termes, il y a une petite formule à connaître. Par exemple, si nous allons de \(u_{10}\) à \(u_{11}\), vous vous demandez combien de termes nous sommes en train de sommer. Est-ce que nous sommes en train de sommer 11 termes ou 12 termes ? Pour savoir le nombre de termes entre \(u_a\) et \(u_b\), vous faites le dernier indice moins le premier indice et vous ajoutez 1. Donc, entre \(u_0\) et \(u_{11}\), il y a \(11 - 0 + 1 = 12\) termes.

Calcul du dernier terme

Le premier terme est celui qui est ici, \(u_0\), qui est égal à 1. Comment calculons-nous le dernier terme ? Nous savons que c'est une suite arithmétique, donc nous savons que \(u_n = u_0 + n \times r\), où \(r\) est la raison de la suite. Ici, cela donne \(1 + 11 \times 2 = 23\). Donc, notre onzième terme vaut 23. Ensuite, nous appliquons la formule de la somme : \(12 \times (1 + 23) / 2 = 12 \times 24 / 2 = 12 \times 12 = 144\). La difficulté réside en deux points : premièrement, être capable de savoir combien il y a de termes, c'est-à-dire combien d'objets nous allons sommer. Pour cela, nous faisons l'indice du dernier terme moins l'indice du premier terme plus 1. Deuxièmement, être capable de calculer le dernier terme en se souvenant de la formule explicite d'une suite arithmétique.

Exemple avec une suite arithmétique commençant à un indice différent de zéro

Prenons un autre exemple. Supposons que nous avons une suite arithmétique où chaque terme est égal au terme précédent plus 5, et que nous savons que \(u_3 = 2\). Nous appliquons la même formule : le nombre de termes multiplié par la somme du premier et du dernier terme, le tout divisé par deux. Le nombre de termes est \(7 - 3 + 1 = 5\). Le premier terme est \(u_3\), qui vaut 2. Pour calculer le dernier terme, nous utilisons la formule complète \(u_n = u_p + (n - p) \times r\), où \(p\) est l'indice du point de départ. Donc, \(u_7 = u_3 + (7 - 3) \times 5 = 2 + 4 \times 5 = 22\). Ensuite, nous appliquons la formule de la somme : \(5 \times (2 + 22) / 2 = 5 \times 24 / 2 = 5 \times 12 = 60\). En résumé, il faut être capable de savoir combien il y a de termes en faisant l'indice du dernier terme moins l'indice du premier terme plus 1, et être capable de passer à la forme explicite si nécessaire pour calculer la valeur du dernier terme. À vous de jouer maintenant !