Sujet de Mathématiques : Contrôle sur la Dérivation et les Suites Numériques

Ce contrôle de mathématiques pour le niveau Première spécialité est une évaluation complète portant sur deux chapitres centraux du programme : la dérivation globale et les suites arithmétiques et géométriques. D'une durée de 2 heures, ce sujet est idéal pour s'entraîner et valider ses acquis sur l'étude de fonctions et le comportement des suites. Ce document propose une analyse détaillée, exercice par exercice, pour une meilleure compréhension des concepts. Les mots-clés importants sont : contrôle corrigé, sujet de maths, Première spé, étude de fonction, équation de tangente, tableau de variation, suite arithmético-géométrique.

Exercice 1 : Étude de fonction, entre lecture graphique et calculs

Cet exercice se divise en deux parties et constitue une excellente révision sur le chapitre de la dérivation.

• Partie A - Lecture graphique : Cette partie évalue la capacité à interpréter graphiquement les notions liées à la dérivation. Il est demandé de :
  • Lire des images et des nombres dérivés. Le nombre dérivé, tel que f'(-2), est déterminé en calculant le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse -2.
  • Déterminer l'équation réduite d'une tangente à partir de deux de ses points.
  • Vérifier par le calcul si un point appartient à une droite.
  • Résoudre graphiquement des équations comme f'(x) = 0 (recherche des sommets de la courbe) et des inéquations comme f'(x) > 0 (recherche des intervalles où la fonction est croissante).
• Partie B - Partie algébrique : Avec l'expression de la fonction f(x) = -2x³ – 5x² + 10x + 6, on passe à la vérification par le calcul. Les compétences attendues sont :
  • Calculer la fonction dérivée f'(x) d'une fonction polynôme.
  • Démontrer l'équation de la tangente en un point d'abscisse a en utilisant la formule y = f'(a)(x-a) + f(a).
  • Déterminer algébriquement les abscisses des points où la tangente est horizontale en résolvant l'équation f'(x) = 0, ce qui revient ici à résoudre une équation du second degré.

Exercice 2 : Analyse complète d'une fonction polynôme

Cet exercice se concentre sur l'étude de la fonction f(x) = 2x³ – 3x² - 12x + 1. Les étapes sont classiques mais fondamentales :

1. Calcul de la fonction dérivée f'(x).
2. Interprétation graphique du nombre dérivé f'(1) comme étant le coefficient directeur de la tangente.
3. Étude du signe de la dérivée f'(x), qui est un polynôme du second degré. Ceci permet de dresser le tableau de variation complet de la fonction f.
4. Recherche de tangentes parallèles à une droite donnée, ce qui se traduit par la résolution de l'équation f'(x) = m, où m est le coefficient directeur de la droite.

Exercice 3 : Dérivation d'une fonction rationnelle

Ici, l'objectif est d'étudier la fonction f(x) = -2 / (x² + 5). L'exercice teste spécifiquement la maîtrise de la dérivée d'un quotient de fonctions. Une série d'affirmations de type "vrai ou faux" permet de vérifier la bonne application des concepts :

• Calcul du coefficient directeur de la tangente en un point (f'(1)).
• Étude du sens de variation à partir du signe de la dérivée.
• Identification d'une tangente horizontale (f'(0) = 0).
• Détermination de l'équation complète d'une tangente.

Exercice 4 : Modélisation avec une suite arithmético-géométrique

Cet exercice est un problème concret de modélisation sur l'évolution du nombre d'abonnés d'une chaîne. La situation mène à une suite arithmético-géométrique définie par u(n+1) = 0.9*u(n) + 200.

• Le cœur de l'exercice est la méthode de l'introduction d'une suite auxiliaire (v_n) qui se révèle être une suite géométrique.
• Une fois la nature de (v_n) prouvée, on détermine sa forme explicite, puis on en déduit celle de (u_n).
• L'étude du sens de variation de la suite (u_n) permet de répondre à la problématique.
• Enfin, l'exercice aborde le calcul de la somme des termes d'une suite géométrique pour calculer un revenu total sur plusieurs années.

Exercice 5 : Comparaison entre conjecture et étude de fonction pour une suite

Cet exercice met en lumière le lien fort entre les suites définies par une formule explicite u_n = f(n) et la fonction f associée. On étudie ici u_n = n³ – 9n². L'objectif est de montrer que la conjecture sur le sens de variation, émise à partir des premiers termes, peut être trompeuse. La méthode rigoureuse consiste à étudier les variations de la fonction f(x) = x³ - 9x² sur [0; +∞[ via sa dérivée, puis d'en déduire le comportement de la suite pour les entiers n.

Exercice 6 : Problème de logique et somme arithmétique

Ce court problème est un excellent test de logique et de connaissance des suites. Il faut utiliser la formule de la somme des n premiers entiers, qui est un cas particulier de la somme des termes d'une suite arithmétique (S_n = n(n+1)/2), pour résoudre un système d'équations et trouver la page où se trouve le lecteur ainsi que le nombre total de pages du livre.